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유수 정리를 이용한 실적분 계산

Math Complex Analysis Residue Theorem

NOTE 11-30-01 · 유수 정리를 이용한 실적분 계산

1. 일반 사항

A. 목적

  1. 이 노트는 유수 정리(residue theorem)로 다음 실적분을 계산한다.
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1} = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi\]
  1. 이 노트는 증명의 각 단계 중 어느 단계가 실제로 성립 여부를 결정하는지 확인한다.

참고 답은 \(\arctan x\) 로 바로 확인된다. 이 노트의 목적은 답이 아니라 절차의 검증이다. 유수 계산은 한 줄이고, 성립 여부를 결정하는 단계는 큰 반원 호 위의 적분이 0으로 가는 단계다.

B. 적용 범위

  1. 피적분함수가 유리함수 \(P/Q\) 이고 \(\deg Q \ge \deg P + 2\) 인 경우에 적용한다.
  2. 실수축 위에 특이점이 없는 경우에 적용한다.
  3. \(e^{iax}\) 인자가 붙는 경우는 4.C 와 4.D 에서 다룬다.

C. 결과 요약

  1. \(\int_{-\infty}^{\infty} dx/(x^2+1) = \pi\) 이다.
  2. 위 반평면 경로와 아래 반평면 경로가 같은 값을 준다.
  3. 호 적분의 참값은 \(2\arctan(1/R)\) 이고, ML 상한 \(\pi R/(R^2-1)\) 은 큰 \(R\) 에서 참값의 약 \(\pi/2\) 배다.
  4. \(e^{ix}\) 가 붙으면 아래 반평면 경로는 오답 \(\pi e\) 를 준다.

2. 준비 정보

A. 필요한 개념

  1. 복소수의 극형식 \(z = Re^{i\theta}\) 를 다룰 수 있어야 한다.
  2. 단순극(simple pole)의 정의를 알아야 한다.

B. 참조 자료

참조 제목
유수 정리 닫힌 경로 적분 = \(2\pi i \times\) (경로 안쪽 유수의 합)
ML 부등식 \(\lvert \int_\gamma f\,dz \rvert \le M L\), \(M = \max_\gamma \lvert f \rvert\), \(L\) = 경로 길이
Jordan 보조정리 \(\int_0^{\pi} e^{-aR\sin\theta}\,R\,d\theta < \pi/a\) (\(a > 0\))

C. 사용 프로그램

항목 용도
Python, mpmath 경로 적분 수치 확인, 진동 적분(quadosc)
Python, matplotlib, Pillow 그림 GIF 두 개 생성(make_gifs.py)

D. 관련 파일

  • make_gifs.py — 위 GIF 두 개를 만드는 스크립트 (matplotlib, Pillow)
python make_gifs.py    # -> images/blog/residue-theorem-real-integral-semicircle/*.gif

3. 절차

A. 복소화 및 특이점 확인

  1. 실변수 \(x\) 를 복소변수 \(z\) 로 바꾼다.
\[f(z) = \frac{1}{z^2+1} = \frac{1}{(z-i)(z+i)}\]
  1. 분모가 0이 되는 점을 찾는다. \(z = i\), \(z = -i\) 두 점이다.
  2. \(z = i\) 근처에서 \(f\) 를 다음과 같이 나눈다.
\[f(z) = \frac{1}{z-i} \cdot \frac{1}{z+i}\]
  1. 극의 차수를 판정한다.
    1. 뒤 인수 \(1/(z+i)\) 는 \(z = i\) 에서 해석적이고 값은 \(1/(2i) \neq 0\) 이다.
    2. 앞 인수에 \((z-i)\) 가 1제곱으로만 있으므로 \(z = i\) 는 단순극이다.
    3. 같은 이유로 \(z = -i\) 도 단순극이다.
  2. 실수축 위에 특이점이 없음을 확인한다.

주의 실수축 위에 극이 있으면 경로가 극을 지나가므로 이 절차를 쓸 수 없다. 이 경우 주치(principal value) 적분 절차로 바꾼다.

B. 경로 설계

  1. 닫힌 경로 \(C\) 를 두 부분으로 구성한다.
    1. 실수축 위의 선분 \([-R, R]\).
    2. 위 반평면의 반원 호 \(\Gamma_R\): \(z = Re^{i\theta}\), \(0 \le \theta \le \pi\).
  2. 진행 방향을 반시계 방향으로 정한다. \(-R\) 에서 \(R\) 까지 실수축을 따라간 뒤 호를 따라 돌아온다.
  3. \(R > 1\) 로 잡는다. 이때 \(z = i\) 만 경로 안에 있고 \(z = -i\) 는 바깥에 있다.

참고 선분 위에서 \(z = x\), \(dz = dx\) 이므로 선분 적분이 곧 구하려는 적분의 유한 구간 버전이다. 호는 경로를 닫는 보조 부품이며, \(R \to \infty\) 에서 사라져야 한다. 유수 정리는 경로 안쪽 극만 센다.

C. 유수 계산

  1. 단순극 \(z = a\) 의 유수 공식을 적용한다.
\[\operatorname*{Res}_{z=a} f(z) = \lim_{z \to a} (z-a) f(z)\]
  1. \(a = i\) 를 대입한다.
\[\operatorname*{Res}_{z=i} \frac{1}{z^2+1} = \lim_{z \to i} \frac{1}{z+i} = \frac{1}{2i} = -\frac{i}{2}\]
  1. 결과를 \(P(a)/Q'(a)\) 공식으로 확인한다. \(Q'(z) = 2z\) 이므로 \(1/(2i)\) 로 같다.
  2. 유수 정리를 적용한다.
\[\oint_C \frac{dz}{z^2+1} = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi\]

참고 \(1/(2i) = -i/2\) 는 분자와 분모에 \(-i\) 를 곱해 얻는다(\(2i \cdot (-i) = 2\)). 경로 적분 값 \(\pi\) 는 \(R > 1\) 이면 \(R\) 과 무관하다. 경로 안에 들어오는 극이 바뀌지 않기 때문이다.

D. 경로 분해

  1. 닫힌 경로 적분을 선분 적분과 호 적분으로 나눈다.
\[\pi = \int_{-R}^{R} \frac{dx}{x^2+1} + \int_{\Gamma_R} \frac{dz}{z^2+1}\]
  1. 첫 항이 \(R \to \infty\) 에서 구하려는 적분이 됨을 확인한다.
  2. 남은 작업을 정한다. 호 적분이 0으로 감을 보이면 절차가 끝난다.

E. 호 적분 소멸 증명

경고 이 단계를 생략하면 유수 계산이 맞아도 결과가 틀릴 수 있다. 증명이 틀리는 경우는 대부분 이 단계에서 틀린다. 4.C 의 아래 반평면 경로가 그 예다.

  1. 호 위에서 \(\lvert z \rvert = R\) 임을 이용해 역삼각부등식을 적용한다.
\[\lvert z^2 + 1 \rvert \ge \lvert z \rvert^2 - 1 = R^2 - 1 \qquad (R > 1)\]
  1. 호 위의 최댓값을 정한다. \(\lvert f(z) \rvert \le M = 1/(R^2-1)\) 이다.
  2. 호의 길이를 정한다. \(L = \pi R\) 이다.
  3. ML 부등식을 적용한다.
\[\left\lvert \int_{\Gamma_R} \frac{dz}{z^2+1} \right\rvert \le \frac{\pi R}{R^2-1} \xrightarrow{R \to \infty} 0\]
  1. \(R \to \infty\) 로 보내 결과를 얻는다.
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1} = \pi\]

참고 분모는 \(R^2\) 으로, 호 길이는 \(R\) 로 자라므로 상한은 \(1/R\) 로 줄어든다. 일반 유리함수 \(P/Q\) 에서 \(\deg Q \ge \deg P + 2\) 를 요구하는 이유가 이 계산이다. 차수 차이가 1이면 \(M \sim 1/R\) 과 \(L \sim R\) 이 상쇄되어 상한이 상수로 남는다.

4. 시험 및 검사

A. 호 적분 참값과 ML 상한 비교

  1. 선분 적분 \(2\arctan R\) 로부터 호 적분의 참값을 구한다.
\[\int_{\Gamma_R} \frac{dz}{z^2+1} = \pi - 2\arctan R = 2\arctan\frac{1}{R}\]
  1. \(z = Re^{i\theta}\) 로 매개화하여 \(\theta\) 에 대해 mpmath 로 수치 적분한다. 위 식과 20자리까지 일치한다.
  2. 참값과 ML 상한을 비교한다.
\(R\) 선분 적분 \(2\arctan R\) 호 적분 (참값) \(2\arctan(1/R)\) ML 상한 \(\pi R/(R^2-1)\)
2 2.2143 0.9273 2.0944
10 2.9423 0.1993 0.3173
100 3.1216 0.0200 0.0314
  1. 판정: 큰 \(R\) 에서 참값은 \(2/R\), 상한은 \(\pi/R\) 로 간다. 상한은 참값의 약 \(\pi/2\) 배이고 감소 속도는 같다. 증명에는 0으로 간다는 사실만 필요하므로 합격이다.
Semicircular contour growing with R: segment integral 2 arctan R approaches pi, arc integral 2 arctan(1/R) decays below the ML bound
R 을 키워도 경로 적분은 π 로 일정하다. 선분 적분 2arctan R 은 π 로, 호 적분 2arctan(1/R) 은 ML 상한 πR/(R²−1) 아래에서 0 으로 간다.

참고 \(R = 100\) 에서도 선분 적분은 \(\pi\) 보다 0.02 작다. 꼬리가 \(1/x^2\) 로만 줄어들어 수렴이 느리다.

B. 최종값 확인

  1. \(\arctan x\) 의 극한값으로 확인한다. \(-\infty\) 에서 \(-\pi/2\), \(+\infty\) 에서 \(\pi/2\) 이므로 차이는 \(\pi\) 다.
  2. mpmath 수치 적분으로 확인한다. 결과는 \(3.14159265358979\ldots\) 로 일치한다.

C. 아래 반평면 경로로 교차 검증

  1. 아래 반평면에 반원을 그려 경로를 닫는다. 이 경로 안에는 \(z = -i\) 만 있다.
  2. 진행 방향이 시계 방향임을 확인한다. \(-R\) 에서 \(R\) 로 간 뒤 아래쪽 호로 돌아온다.
  3. \(z = -i\) 의 유수를 계산한다.
\[\operatorname*{Res}_{z=-i} \frac{1}{z^2+1} = \lim_{z \to -i} \frac{1}{z-i} = \frac{1}{-2i}\]
  1. 시계 방향이므로 유수 정리에 음의 부호를 붙인다.
\[\oint_{C'} \frac{dz}{z^2+1} = -2\pi i \cdot \frac{1}{-2i} = \pi\]
  1. 아래쪽 호에서도 \(\lvert z^2+1 \rvert \ge R^2 - 1\) 이 성립함을 확인한다. 호 적분은 0으로 가고 결과는 \(\pi\) 로 같다.

참고 두 경로가 일치하는 것은 우연이 아니다. 큰 원 전체로 감싸면 원 적분은 두 유수의 합 \(1/(2i) + 1/(-2i) = 0\) 에 \(2\pi i\) 를 곱한 값이다. 이는 \(\lvert f \rvert \sim 1/R^2\) 인 함수의 큰 원 적분이 0으로 간다는 사실과 맞는다. 위쪽 경로 값과 아래쪽 경로 값의 차이가 이 원 적분이므로 둘은 같다.

D. 교차 검증이 깨지는 조건: \(e^{ix}\) 인자

경고 \(e^{iaz}\) (\(a > 0\)) 가 붙으면 반드시 위 반평면으로 닫는다. \(e^{-iaz}\) 가 붙으면 아래로 닫는다. 반대쪽으로 닫으면 계산은 오류 없이 끝나지만 값이 틀린다. 닫는 방향을 자유롭게 고를 수 있는 것은 \(1/(z^2+1)\) 처럼 양쪽에서 모두 작아지는 함수뿐이다.

  1. \(\cos x/(x^2+1)\) 을 구하기 위해 \(e^{iz}/(z^2+1)\) 을 적분하고 실수부를 취한다.
  2. 위 반평면에서 \(z = x + iy\) 이면 \(\lvert e^{iz} \rvert = e^{-y} \le 1\) 임을 확인한다. 3.E 의 ML 추정이 그대로 성립한다.
  3. 위 반평면 경로로 계산한다. 결과는 수치 적분 값과 일치한다.
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2+1}\,dx = 2\pi i \cdot \frac{e^{i \cdot i}}{2i} = \frac{\pi}{e} \approx 1.1557\]
  1. 비교를 위해 아래 반평면 경로로 계산한다.
    1. \(y < 0\) 에서 \(\lvert e^{iz} \rvert = e^{\lvert y \rvert}\) 는 \(e^R\) 까지 커진다.
    2. 이 경로의 값은 \(-2\pi i \cdot e/(-2i) = \pi e \approx 8.540\) 으로 오답이다.
    3. 아래쪽 호 적분은 0이 아니라 \(\pi e - \pi/e = 2\pi\sinh 1 \approx 7.384\) 로 간다.
    4. \(R = 20\) 에서 호 적분을 직접 수치 적분하면 7.3797 로, 위 값에 근접한다.
Size of e^(iz) on the upper and lower arcs, and the arc integrals versus R: upper goes to 0, lower to 2 pi sinh 1
e^(iz) 의 크기는 위쪽 호에서 e^(−R sin θ) 로 줄고 아래쪽 호에서 e^(R sin θ) 로 커진다. 위쪽 호 적분은 0 으로, 아래쪽 호 적분은 2π sinh 1 ≈ 7.384 로 간다.

E. ML 상한이 부족한 경우: Jordan 보조정리

  1. 차수 차이가 1인 \(x e^{ix}/(x^2+1)\) 에 ML 부등식을 적용한다.
    1. 호 위에서 \(\lvert f \rvert \le R/(R^2-1)\), 호 길이는 \(\pi R\) 이다.
    2. 상한은 \(\pi R^2/(R^2-1) \to \pi\) 로 0이 되지 않는다. ML 부등식으로는 증명할 수 없다.
  2. Jordan 보조정리(Jordan’s lemma)를 적용한다. 위 반원 위에서 다음이 성립한다.
\[\int_0^{\pi} e^{-aR\sin\theta}\,R\,d\theta < \frac{\pi}{a}\]
  1. 호 길이 \(\pi R\) 대신 \(\pi/a\) 를 곱한다. 상한은 \(\pi R/(R^2-1) \to 0\) 이다.
  2. 수치로 확인한다. \(R = 10, 50, 200\) 에서 실제 호 적분의 크기는 0.173, 0.038, 0.0048 이고, 상한(0.317, 0.063, 0.016) 아래에 있다.
  3. \(z = i\) 의 유수를 계산한다. \(i e^{-1}/(2i) = 1/(2e)\) 이다.
  4. 유수 정리를 적용하고 허수부를 취한다.
\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x e^{ix}}{x^2+1}\,dx = 2\pi i \cdot \frac{1}{2e} = \frac{i\pi}{e} \quad\Longrightarrow\quad \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x\sin x}{x^2+1}\,dx = \frac{\pi}{e}\]
  1. mpmath 진동 적분(quadosc)으로 확인한다. 결과는 \(\pi/e\) 로 일치한다.

참고 지수 인자 \(e^{-aR\sin\theta}\) 는 호의 대부분에서 작고, 실수축 근처의 짧은 구간에서만 1에 가깝다. 그래서 유효 길이가 상수 \(\pi/a\) 로 줄어든다. 이 적분은 절대수렴하지 않고 조건수렴한다.

5. 종료

A. 결과 정리

  1. 유수 정리로 실적분을 계산하는 절차는 네 단계다.
    1. 특이점을 찾는다(3.A).
    2. 구하려는 실적분이 한 조각이 되도록 닫힌 경로를 고른다(3.B).
    3. 안쪽 극의 유수를 더해 \(2\pi i\) 를 곱한다(3.C).
    4. 보조 경로가 사라짐을 보인다(3.E).
  2. 앞의 세 단계는 기계적이다. 네 번째 단계에서 닫는 방향과, ML 부등식으로 충분한지 Jordan 보조정리가 필요한지를 정한다.

B. 후속 작업

  1. 실수축 위에 극이 있는 경우: 주치 적분과 작은 반원 우회 경로를 다룬다.