로피탈 정리의 증명과 반례

NOTE 11-10-02 · 로피탈 정리의 증명과 반례

1. 일반 사항

A. 목적

이 노트는 로피탈 정리(L’Hôpital’s rule)의 증명을 제시한다. 정리의 주장은 “분자와 분모를 따로 미분해도 극한이 같다”이다.
증명의 핵심은 다음 한 줄이다. \(f(a) = g(a) = 0\) 이면 \(a\) 와 \(x\) 사이의 어떤 점 \(c\) 에서 다음이 성립한다.

\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}\]

\(x \to a\) 이면 \(c\) 도 \(a\) 로 끌려간다. 이 등식을 주는 정리가 코시 평균값 정리다.
이 노트는 각 조건이 증명의 어느 단계에서 쓰이는지 확인하고, 조건을 빼면 무엇이 깨지는지 반례로 확인한다.

경고 주요 오개념은 \(f'/g'\) 의 극한이 없을 때 “원래 극한도 없다”고 결론짓는 것이다. 정리의 방향을 반대로 적용한 오류다. 4.C 에서 반례를 제시한다.

B. 적용 범위

\(x \to a\) 의 0/0 꼴에 적용한다(3.D).
\(x \to \infty\) 와 ∞/∞ 꼴에 적용한다(3.F).
\(0\cdot\infty\), \(\infty - \infty\), \(1^\infty\), \(0^0\), \(\infty^0\) 꼴은 위 두 꼴로 바꾸어 적용한다(3.G).

C. 결과 요약

로피탈 정리는 “도함수의 비가 수렴하면 원래 비도 같은 값으로 수렴한다”는 한 방향의 주장이다.
근거는 원래 비가 어떤 점에서의 도함수 비와 정확히 같다는 코시 평균값 정리다.
평균값 정리를 분자와 분모에 따로 쓰면 서로 다른 두 점이 생겨 증명이 막힌다.
조건마다 증명에서 맡은 역할이 있고, 그 조건을 빼면 반례가 생긴다.

2. 준비 정보

A. 필요한 개념

극한의 ε-δ 정의를 알아야 한다(NOTE 11-10-01).
매개변수 곡선의 기울기 \(dy/dx\) 를 계산할 수 있어야 한다.

B. 참조 자료

참조	제목
롤의 정리(Rolle’s theorem)	\(h(a) = h(b)\) 이면 \(h'(c) = 0\) 인 \(c \in (a, b)\) 가 있다
평균값 정리(mean value theorem)	\(f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\) 인 \(c \in (a, b)\) 가 있다
코시 평균값 정리(Cauchy’s mean value theorem)	3.C 참조

C. 사용 프로그램

항목	용도
Python, matplotlib, Pillow	그림 GIF 두 개 생성(`make_gifs.py`)

D. 관련 파일

make_gifs.py — 위 GIF 두 개를 만드는 스크립트 (matplotlib, Pillow)

python make_gifs.py    # -> images/blog/why-lhopital-rule-works/*.gif

3. 절차

A. 단순한 경우와 그 한계

교과서의 일반적인 설명을 확인한다. \(f(a) = g(a) = 0\) 이고 \(f', g'\) 이 \(a\) 에서 연속이며 \(g'(a) \neq 0\) 이면 다음이 성립한다.

\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\dfrac{g(x) - g(a)}{x - a}} \;\longrightarrow\; \frac{f'(a)}{g'(a)}\]

이 설명의 한계를 확인한다.
1. \(\lim_{x\to 0} (1 - \cos x)/x^2\) 에 한 번 적용하면 \(\sin x/(2x)\) 가 된다.
2. 분모의 도함수 \(2x\) 는 \(x = 0\) 에서 0이다.
3. 로피탈 정리를 두 번 이상 쓰는 모든 문제가 이 경우에 해당한다.
필요한 정리의 형태를 정한다. \(f'(a)\), \(g'(a)\) 의 값이 아니라 \(f'/g'\) 의 극한만 가정하는 정리가 필요하다.

B. 평균값 정리를 두 번 쓰면 안 되는 이유

평균값 정리를 분자와 분모에 따로 적용한다. \(f(x) = f'(c_1)(x - a)\), \(g(x) = g'(c_2)(x - a)\) 이다.

\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c_1)}{g'(c_2)}\]

이 단계에서 증명이 막힘을 확인한다.
1. \(c_1\) 과 \(c_2\) 는 일반적으로 다른 점이다.
2. 가정은 같은 점에서의 비 \(f'(t)/g'(t)\) 에 대한 것이다.
3. 서로 다른 점에서 잰 분자와 분모의 비는 가정과 연결되지 않는다.
두 함수에 같은 \(c\) 를 쓰는 평균값 정리가 필요하다.

C. 코시 평균값 정리 증명

정리를 진술한다. \(f, g\) 가 \([a, b]\) 에서 연속, \((a, b)\) 에서 미분가능하고 \((a, b)\) 에서 \(g' \neq 0\) 이면 다음을 만족하는 \(c \in (a, b)\) 가 있다.

\[\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}\]

분모가 없는 보조함수를 정의한다.

\[h(t) = \big[f(t) - f(a)\big]\big[g(b) - g(a)\big] - \big[g(t) - g(a)\big]\big[f(b) - f(a)\big]\]

\(h(a) = 0\) 임을 확인한다.
\(h(b)\) 도 두 항이 같아 0임을 확인한다.
롤의 정리로 \(h'(c) = 0\) 인 \(c\) 를 얻는다.
\(h'(c) = 0\) 을 풀어 쓴다. \(f'(c)\,[g(b) - g(a)] = g'(c)\,[f(b) - f(a)]\) 이다.
양변을 나눌 수 있는지 확인한다.
1. \(g'(c) \neq 0\) 은 가정이다.
2. \(g(b) = g(a)\) 라면 롤의 정리로 \(g'\) 이 \((a, b)\) 어딘가에서 0이 되어 가정에 어긋난다. 따라서 \(g(b) \neq g(a)\) 이다.

참고 \(g' \neq 0\) 조건은 이 단계에서 처음 쓰인다.

D. 0/0 꼴 증명

가정을 정한다.
1. \(a\) 를 뺀 근방에서 \(f, g\) 가 미분가능하고 \(g' \neq 0\) 이다.
2. \(\lim_{x\to a} f = \lim_{x\to a} g = 0\) 이다.
3. \(\lim_{x\to a} f'(x)/g'(x) = L\) 이다.
\(f(a) = g(a) = 0\) 으로 정의한다. 두 함수가 \(a\) 에서 연속이 된다.
\(x > a\) 라 한다. \(x < a\) 도 같은 방법으로 처리한다.
\([a, x]\) 에서 평균값 정리를 쓴다. \(g(x) = g'(\xi)(x - a) \neq 0\) 이므로 \(f/g\) 가 정의된다.
코시 평균값 정리를 적용한다.

\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)}, \qquad a < c_x < x\]

\(\varepsilon > 0\) 을 잡는다. \(0 < \lvert t - a\rvert < \delta\) 일 때 \(\lvert f'(t)/g'(t) - L\rvert < \varepsilon\) 인 \(\delta\) 가 있다.
\(0 < \lvert x - a\rvert < \delta\) 이면 \(0 < \lvert c_x - a\rvert < \lvert x - a\rvert < \delta\) 이다.
결론을 얻는다.

\[\left\lvert \frac{f(x)}{g(x)} - L \right\rvert = \left\lvert \frac{f'(c_x)}{g'(c_x)} - L \right\rvert < \varepsilon\]

참고 \(c_x\) 가 \(a\) 와 \(x\) 사이에 엄격하게 있다는 점이 중요하다. \(c_x = a\) 일 수 있다면 \(a\) 에서의 \(f'/g'\) 값이 필요하지만, 그 값은 가정에 없다. \(L = \pm\infty\) 여도 부등식만 바꾸면 같은 증명이 성립한다.

조건이 쓰인 위치를 대조한다.

조건	증명에서 쓰인 곳
\(f, g \to 0\)	\(a\)에서 0으로 정의해 연속으로 만든다
\(a\) 근방 미분가능	\([a, x]\)에서 코시 평균값 정리
\(g' \neq 0\)	\(g(x) \neq 0\), 그리고 \(g'(c_x)\)로 나누기
\(\lim f'/g'\) 존재	\(c_x\)에서의 값을 \(L\) 근처로 묶기

E. 매개변수 곡선의 할선과 접선으로 해석

\(x\) 를 매개변수로 보고 평면 위의 점 \((g(x), f(x))\) 로 곡선을 만든다.
\(x \to a\) 이면 이 점은 원점으로 간다.
각 비의 기하적 의미를 정한다.
1. \(f(x)/g(x)\) 는 원점과 곡선 위의 점을 잇는 할선의 기울기다.
2. \(f'(x)/g'(x)\) 는 그 점에서 곡선의 접선 기울기다. 매개변수 곡선의 기울기가 \(dy/dx = f'/g'\) 이기 때문이다.
코시 평균값 정리를 매개변수 곡선의 평균값 정리로 해석한다. 원점에서 어떤 점까지 그은 할선과 평행한 접선이 그 사이 어딘가에 있다.
원점 근처에서 접선 기울기가 모두 \(L\) 가까이 모이면, 할선 기울기도 그중 하나이므로 \(L\) 가까이에 있다.
\(g' \neq 0\) 의 기하적 의미를 정한다.
1. \(g'\) 은 곡선의 가로 방향 속도다.
2. \(g' \neq 0\) 이면 곡선은 가로 방향으로 되돌아가지 않고 한쪽으로만 움직인다.
3. \(g'\) 이 부호를 바꾸면 곡선이 좌우로 오가며 할선과 접선의 관계가 흐트러질 수 있다.

참고 4.D 의 \(g' \neq 0\) 누락 반례가 정확히 6단계의 마지막 경우에 해당한다. 구체적 예시는 4.A 에서 확인한다.

F. x → ∞ 와 ∞/∞ 꼴

\(x \to \infty\) 를 \(t = 1/x\) 로 치환한다. \(t \to 0^+\) 가 된다.
\(F(t) = f(1/t)\), \(G(t) = g(1/t)\) 로 둔다.
연쇄법칙에서 \(-1/t^2\) 이 분자·분모에 똑같이 붙어 약분된다. 따라서 \(F'(t)/G'(t) = f'(1/t)/g'(1/t)\) 이다.
3.D 의 증명을 그대로 적용한다.
∞/∞ 꼴의 가정을 정한다. ∞/∞ 꼴은 \(a\) 에서 0으로 정의하는 방법을 쓸 수 없으므로 증명이 다르다.
1. \(a\) 의 오른쪽 근방에서 \(f, g\) 가 미분가능하고 \(g' \neq 0\) 이다.
2. \(x \to a^+\) 일 때 \(\lvert g\rvert \to \infty\) 이다.
3. \(f'/g' \to L\) (유한) 이다.
\(\varepsilon\) 에 대해 \(a < t < a + \delta\) 에서 \(\lvert f'(t)/g'(t) - L\rvert < \varepsilon\) 이 되게 \(\delta\) 를 잡는다.
\(y\) 를 \((a, a+\delta)\) 안에 고정한다.
\(a < x < y\) 에서 \([x, y]\) 에 코시 평균값 정리를 쓰고 \(g(x)\) 로 나누어 정리한다.

\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(y)}{g(x)} + \frac{f'(c)}{g'(c)}\left(1 - \frac{g(y)}{g(x)}\right), \qquad x < c < y\]

각 항의 극한을 확인한다.
1. \(y\) 는 고정이고 \(\lvert g(x)\rvert \to \infty\) 이므로 첫 항은 0으로 간다.
2. 괄호는 1로 간다.
3. \(f'(c)/g'(c)\) 는 항상 \((L - \varepsilon, L + \varepsilon)\) 안에 있다.
\(x\) 가 \(a\) 에 충분히 가까우면 \(f(x)/g(x)\) 는 \(L\) 에서 \(\varepsilon\) 의 몇 배 이내에 있다. \(\varepsilon\) 은 임의로 작게 잡을 수 있다.

참고 이 증명에는 \(f \to \infty\) 가 한 번도 쓰이지 않는다. 필요한 것은 분모의 발산뿐이다.

G. 다른 부정형의 변환

주의 \(0\cdot\infty\) 꼴에서는 어느 쪽을 분모로 내리는지에 따라 계산량이 달라진다. 잘못 고르면 도함수의 비가 원래보다 복잡해진다.

\(0\cdot\infty\) 는 한쪽을 분모로 내린다.
1. \(x \ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}\) 로 쓰면 도함수의 비가 \(\dfrac{1/x}{-1/x^2} = -x \to 0\) 으로 바로 끝난다.
2. \(\dfrac{x}{1/\ln x}\) 로 쓰면 도함수의 비가 \(-x(\ln x)^2\) 이 되어 원래보다 복잡해진다.
\(\infty - \infty\) 는 통분한다. \(\dfrac{1}{\sin x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - \sin x}{x \sin x}\) 에 두 번 적용하면 \(\dfrac{\sin x}{2\cos x - x\sin x} \to 0\) 이다.
\(1^\infty\), \(0^0\), \(\infty^0\) 은 로그를 취해 \(0\cdot\infty\) 로 만든다.
1. \(\ln (1+x)^{1/x} = \ln(1+x)/x \to 1\) 이므로 \((1+x)^{1/x} \to e\) 이다.
2. \(\ln x^x = x\ln x \to 0\) 이므로 \(x^x \to 1\) 이다.

4. 시험 및 검사

A. 할선과 접선의 기하적 해석 확인

\(g(x) = x^2\), \(f(x) = x^3\) 으로 둔다. 곡선은 \((x^2, x^3)\) 이다.
할선 기울기는 \(x\), 접선 기울기는 \(3x/2\) 이다.
\(x = 1\) 에서 할선 기울기는 1, 접선 기울기는 1.5로 다르다.
할선과 평행한 접선을 찾는다. \(3c/2 = 1\) 에서 \(c = 2/3\) 이고, 이 값은 \((0, 1)\) 안에 있다.
판정: 두 기울기 모두 \(x \to 0\) 에서 0으로 간다. 3.E 의 해석과 일치한다.

Curve (x^2, x^3): the secant from the origin (slope x) and the parallel tangent at c = 2x/3 both flatten as x goes to 0 — 곡선 (x², x³) 위의 점이 원점으로 갈 때 할선 기울기 x 와 접선 기울기 3x/2 가 함께 0 으로 간다. 할선과 평행한 접선의 접점은 c = 2x/3 이다.

B. 부정형이 아닌 경우

경고 부정형이 아닌 극한에 로피탈 정리를 쓰면 틀린 값이 나온다.

\(\lim_{x\to 0} \dfrac{\cos x}{1 + x}\) 는 대입하면 1이다.
로피탈 정리를 쓰면 \(\dfrac{-\sin x}{1} \to 0\) 이 나온다.
판정: 3.D 의 첫 단계 “\(a\) 에서 0으로 정의해 연속으로 만든다”가 성립하지 않는 경우다.

C. f’/g’ 의 극한이 없는 경우

\(f'/g'\) 의 극한이 없으면 정리는 아무것도 주장하지 않는다. 원래 극한이 없다는 뜻이 아니다. 가장 흔한 오개념이다.
∞/∞ 꼴의 예를 확인한다.

\[\lim_{x\to\infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{\sin x}{x}\right) = 1\]

도함수의 비를 계산한다. \(1 + \cos x\) 로 0과 2 사이를 오가며 수렴하지 않는다.
나머지 조건을 확인한다. ∞/∞ 꼴이고 \(g' = 1 \neq 0\) 이므로 다른 조건은 모두 만족한다.
0/0 꼴의 예를 확인한다. \(f(x) = x^2 \sin(1/x)\), \(g(x) = \sin x\) 로 둔다.

\[\frac{f(x)}{g(x)} = x\sin\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{\sin x} \;\longrightarrow\; 0\]

위 극한이 0인 이유를 확인한다. \(\lvert x\sin(1/x)\rvert \le \lvert x\rvert\) 이다.
도함수의 비를 계산한다. \(f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)\) 이므로 \(f'/g'\) 은 \(x \to 0\) 에서 대략 \(-1\) 과 \(1\) 사이를 진동한다.
판정: 곡선으로 보면 할선은 수렴하지만 접선이 원점 근처에서 계속 흔들리는 경우다.

참고 코시 평균값 정리가 보장하는 것은 “할선 기울기가 어떤 접선 기울기와 같다”는 사실뿐이다. 따라서 접선들이 흔들려도 할선은 수렴할 수 있다.

D. g’ ≠ 0 을 빠뜨린 경우

경고 \(g' \neq 0\) 조건을 빠뜨리면 \(f'/g'\) 이 수렴해도 원래 비가 수렴하지 않을 수 있다. 계산은 오류 없이 끝나지만 결론이 거짓이다.

\(x \to \infty\) 에서 다음 두 함수를 정의한다.

\[f(x) = x + \sin x\cos x, \qquad g(x) = e^{\sin x} f(x)\]

둘 다 무한대로 감을 확인한다. \(f \ge x - \tfrac12\), \(g \ge e^{-1}(x - \tfrac12)\) 이다.
미분한다. \(f'(x) = 2\cos^2 x\), \(g'(x) = e^{\sin x}\cos x\,(x + \sin x\cos x + 2\cos x)\) 이다.
공통인수 \(\cos x\) 를 약분한다.

\[\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{2\cos x}{e^{\sin x}\,(x + \sin x\cos x + 2\cos x)} \;\longrightarrow\; 0\]

위 극한이 0인 이유를 확인한다. 분자는 유계이고 분모는 \(e^{-1}(x - \tfrac52)\) 보다 크다.
원래 비를 계산한다. \(f(x)/g(x) = e^{-\sin x}\) 는 \(1/e\) 와 \(e\) 사이를 오가며 수렴하지 않는다.
판정: \(g'\) 이 \(x = \pi/2 + k\pi\) 마다 0이 된다.
1. 아무리 큰 \(x\) 이후를 잡아도 \(g' \neq 0\) 인 구간이 없다. 약분한 \(\cos x\) 가 바로 그 0이다.
2. 코시 평균값 정리가 주는 점 \(c\) 가 \(\cos c = 0\) 인 점일 수 있다.
3. 그 점에서는 \(f'(c) = g'(c) = 0\) 이므로 등식 \(f'(c)[g(b) - g(a)] = g'(c)[f(b) - f(a)]\) 가 \(0 = 0\) 이 된다. 할선 기울기에 대해 아무 정보도 주지 않는다.
4. 곡선 그림으로는 \(g\) 가 증가와 감소를 반복하며 곡선이 가로로 앞뒤를 오가는 상황이다.

f'/g' tends to 0 while f/g = e^(-sin x) keeps oscillating between 1/e and e; vertical lines mark zeros of g' — f′/g′ 은 0 으로 수렴하지만 f/g = e^(−sin x) 는 1/e 와 e 사이를 계속 오간다. 세로선은 g′ = 0 인 x = π/2 + kπ 다.

E. 순환논법

경고 \(\lim_{x\to 0}\sin x/x = 1\) 을 로피탈 정리로 증명하면 순환논법이 된다.

로피탈 정리를 적용하면 \(\cos 0 = 1\) 을 쓰게 된다.
\(\sin\) 의 도함수가 \(\cos\) 라는 사실 자체가 이 극한에서 나온다.
판정: 계산 도구로는 쓸 수 있지만 이 극한의 증명이 될 수는 없다.

5. 종료

A. 결과 정리

로피탈 정리는 “도함수의 비가 수렴하면 원래 비도 같은 값으로 수렴한다”는 한 방향의 주장이다.
근거는 원래 비가 어떤 점에서의 도함수 비와 정확히 같다는 코시 평균값 정리다(3.C, 3.D).
조건과 증명 단계의 대응은 3.D 의 표로 확인한다.
각 조건을 빼면 4.B 에서 4.D 까지의 반례가 생긴다.