Math 수학
고등학교 함수와 다항식에서 미적분 입문까지, 정의와 증명을 중심으로 쓴 개념 노트.
11 · 미적분 Calculus
11-10 극한
극한의 엄밀한 정의와, 그 정의 위에서 증명하는 로피탈 정리.
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11-10-01
극한의 ε-δ 정의
극한의 ε-δ 정의를 전칭 기호(∀)와 존재 기호(∃)가 번갈아 나오는 논리 구조로 해설한다. 일차·이차·유리함수에서 δ를 구성하는 절차를 다루고, δ = min(1, ε/7)처럼 구간을 먼저 제한해야 하는 이유를 반례로 보인다. 극한의 부정 명제로 극한이 존재하지 않음을 증명하는 방법과 자주 발생하는 논리적 오류도 짚는다.
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11-10-02
로피탈 정리의 증명과 반례
로피탈 정리의 증명은 분자와 분모에 같은 점 c를 쓰는 코시 평균값 정리 한 줄이다. 평균값 정리를 두 번 쓰면 안 되는 이유와, 그 한 줄을 곡선의 할선과 접선으로 기하학적으로 해석하는 법을 다룬다. f'/g'의 극한이 없거나 g'이 0이 되는 반례를 통해 로피탈 정리가 적용되지 않는 조건도 짚는다.
11-20 그래프 개형
대수적 특성만으로 다항함수와 유리함수의 개형을 그리는 절차.
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11-20-01
다항함수와 유리함수의 그래프 개형
다항함수와 유리함수의 개형은 다섯 가지 대수적 특성으로 결정된다. 양 끝에서의 극한, 영점과 중복도, 불연속점(구멍과 수직 점근선), 절편, 부호 변화다. 약분되는 인수가 제거 가능한 불연속점(hole)이 되는 이유를 보이고, 개형에서 함수식을 재구성하는 문제가 같은 분석의 역과정임을 다룬다.
12 · 대수 Algebra
12-10 함수
그래프의 평행이동·확대와 역함수의 구조.
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12-10-01
함수의 변환과 역함수
y = f(ax + b)에서 입력 변수에 가해진 일차변환은 그래프에 역변환으로 작용한다. f(2x + 3)의 그래프가 왼쪽으로 3이 아니라 1.5만큼 이동하는 이유를 이 원리로 설명하고, 같은 원리가 일대일 조건, 정의역 제한, y = x 대칭, 역함수 검산으로 이어지는 구조를 애니메이션과 함께 다룬다.
12-20 다항식
다항식 나눗셈과 다항식의 값을 계산하는 알고리즘.
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12-20-01
조립제법과 Horner 방법
조립제법(synthetic division)은 일차식으로 나누는 장제법(long division)에서 변수와 소거되는 항을 생략하고 계수만 남긴 알고리즘이다. 그 연산이 다항식의 값을 계산하는 Horner 방법과 단계마다 일치함을 보이고, 나머지정리와 (ax − b)·이차식 나눗셈으로의 확장을 다룬다.