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다항함수와 유리함수의 그래프 개형

Math Algebra Graphing

NOTE 11-20-01 · 다항함수와 유리함수의 그래프 개형

1. 일반 사항

A. 목적

  1. 이 노트는 다항함수와 유리함수의 개형을 다섯 가지 대수적 특성으로 결정하는 절차를 제시한다.
    1. 양 끝에서의 극한(ends).
    2. 영점과 중복도(zeros).
    3. 불연속점(breaks): 구멍과 수직 점근선.
    4. 절편(intercepts).
    5. 부호 변화(signs).
  2. 이 노트는 개형에서 함수식을 재구성하는 역과정을 제시한다.

참고 다섯 가지 특성이 모두 정해지면 곡선은 그 사이를 잇는 일만 남는다. 틀린 개형의 대부분은 특성 하나를 빠뜨린 데서 생긴다. 홀수 차수인데 양 끝 화살표를 같은 방향으로 그리는 경우, 중복도 2인 영점에서 축을 관통하는 경우, 약분되는 인수를 점근선으로 그리는 경우가 그 예다. 그래프에서 식을 세우는 문제는 다섯 가지 특성을 식의 인수로 되돌리는 일이다.

B. 적용 범위

  1. 실계수 다항함수와 유리함수에 적용한다.
  2. 극값의 정확한 위치와 높이는 미분이 필요하므로 다루지 않는다(3.G 참고).

C. 결과 요약

  1. 예제 \(f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + x + 6}{x^3 - x^2 - 9x + 9}\) 는 수평 점근선 \(y = 1\), 영점 \(x = -1, 2\), 구멍 \((3, \tfrac13)\), 수직 점근선 \(x = 1, -3\), \(y\) 절편 \(\tfrac23\) 을 갖는다.
  2. \(x = a\) 에서 분모가 0일 때, 약분 후 분모에 \(x - a\) 가 남으면 수직 점근선이고 남지 않으면 구멍이다.
  3. 구멍과 점근선을 가르는 계산은 분자에 그 \(x\) 를 넣었을 때 0이 되는지 여부다.
  4. 그래프에서 식을 세우는 문제는 다섯 가지 특성을 역순으로 인수에 옮긴다. 조건이 식을 하나로 정하지 못할 수도 있다.

2. 준비 정보

A. 필요한 개념

  1. 다항식의 인수분해와 다항식 나눗셈을 할 수 있어야 한다.

B. 참조 자료

참조 제목
NOTE 12-20-01 조립제법과 Horner 방법
나머지정리 다항식 \(p(x)\) 를 \(x - a\) 로 나눈 나머지는 \(p(a)\) 다

C. 사용 프로그램

항목 용도
Python, matplotlib, Pillow 그림 GIF 세 개 생성(make_gifs.py)

D. 관련 파일

  • make_gifs.py — 위 GIF 세 개를 만드는 스크립트 (matplotlib, Pillow)
python make_gifs.py    # -> images/blog/sketch-graph-five-steps/*.gif

3. 절차

A. 인수분해

  1. 예제 함수를 정한다.
\[f(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + x + 6}{x^3 - x^2 - 9x + 9}\]
  1. 다섯 가지 특성을 구하기 전에 인수분해한다.
  2. 분모를 묶는다. \(x^2(x-1) - 9(x-1) = (x-1)(x-3)(x+3)\) 이다.
  3. 분자에 \(x = -1\) 을 넣으면 0이므로 \(x+1\) 로 나눈다. 결과는 \((x+1)(x-2)(x-3)\) 이다.

참고 이 나눗셈은 조립제법 노트에서 따로 다룬다.

  1. 약분한 식을 쓴다.
\[f(x) = \frac{(x+1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x+3)(x-3)} = \frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+3)} \quad (x \neq 3)\]

B. 양 끝에서의 극한

  1. 다항함수는 최고차항 하나로 양 끝에서의 극한을 정한다.
    1. 차수가 짝수면 양 끝이 같은 방향이다.
    2. 차수가 홀수면 양 끝이 반대 방향이다.
    3. 최고차계수의 부호가 오른쪽 끝의 방향이다.
  2. 왼쪽 끝의 부호를 검산한다. 큰 음수를 최고차항에 넣었을 때의 부호다.

경고 차수가 홀수인데 두 극한을 같은 부호로 적었다면 틀린 것이다.

  1. 유리함수는 약분한 뒤 분자와 분모의 차수를 비교한다.
    1. 분자 차수가 작으면 \(y \to 0\) 이다.
    2. 차수가 같으면 최고차계수의 비로 간다.
    3. 분자 차수가 하나 크면 나눗셈의 몫이 사선 점근선이 된다.
  2. 예제에 적용한다. \(x^2/x^2\) 이므로 \(x \to \pm\infty\) 에서 \(f(x) \to 1\) 이다.

C. 영점과 중복도

  1. 약분한 뒤의 분자에서 영점을 구한다. \(x = -1\) 과 \(x = 2\) 이고, 둘 다 중복도 1이다.

경고 원래 분자에 있던 \(x = 3\) 은 영점이 아니다. 그 점에서 분모도 0이라 함숫값이 없다.

  1. 중복도로 영점 근처의 모양을 정한다. \(x = r\) 근처에서 \(f(x) \approx C(x-r)^m\) 이다.
    1. \(m\) 이 홀수면 부호가 바뀌어 축을 관통(cross)한다.
    2. \(m\) 이 짝수면 부호가 유지되어 축에 닿았다가 돌아간다(touch).
    3. 홀수라도 \(m \ge 3\) 이면 \(y = x^3\) 처럼 납작하게 눕듯이 지나간다.

D. 불연속점: 구멍과 수직 점근선

  1. 약분된 \(x - 3\) 으로 구멍을 정한다.
  2. 구멍의 좌표는 약분한 식에 넣어 구한다. \(\frac{(4)(1)}{(2)(6)} = \frac{1}{3}\) 이므로 \((3, \tfrac{1}{3})\) 이다.
  3. 남은 분모 \((x-1)(x+3)\) 에서 수직 점근선 \(x = 1\), \(x = -3\) 을 정한다.
  4. 수평 점근선은 3.B 에서 구한 \(y = 1\) 이다.
  5. 곡선과 수평 점근선의 교점을 구한다.
    1. \(\frac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+3)} = 1\) 을 푼다.
    2. \(x^2 - x - 2 = x^2 + 2x - 3\) 에서 \(x = \tfrac{1}{3}\) 이다.
    3. 곡선은 \((\tfrac{1}{3}, 1)\) 에서 점근선을 가로지른다.

참고 수평 점근선은 양 끝에서의 극한에 대한 조건일 뿐이다. 곡선이 가운데에서 이 선을 지나가도 된다.

E. 절편

  1. \(y\) 절편을 구한다. \(f(0) = \frac{(1)(-2)}{(-1)(3)} = \frac{2}{3}\) 이다.
  2. 원래 식에 넣어 확인한다. \(\frac{6}{9}\) 로 같다.
  3. \(x\) 절편은 3.C 의 영점 두 개다.

F. 부호 변화

  1. 수직선을 영점과 수직 점근선에서 자른다.

경고 구멍은 부호표의 경계가 아니다. 약분한 식은 \(x = 3\) 에서 연속이므로 양쪽의 부호가 같다.

  1. 각 구간의 부호를 정한다.
구간 \((-\infty, -3)\) \((-3, -1)\) \((-1, 1)\) \((1, 2)\) \((2, \infty)\)
\(f(x)\)의 부호 + − + − +
  1. 부호표로 점근선 근처의 방향을 정한다.
    1. \(x = -3\) 의 왼쪽은 양수라 \(+\infty\) 로 가고, 오른쪽은 음수라 \(-\infty\) 에서 올라온다.
    2. \(x = 1\) 도 왼쪽 \(+\infty\), 오른쪽 \(-\infty\) 다.
    3. 두 점근선 모두 분모 인수의 지수가 1이라 양쪽 부호가 반대다.

참고 \(\frac{2}{(x-3)^2}\) 처럼 지수가 짝수면 분모가 양쪽에서 모두 양수다. 이 경우 곡선은 점근선 양쪽에서 같은 방향으로 간다.

Five-step sketch of f(x) = (x+1)(x-2)(x-3)/((x-1)(x+3)(x-3)): end behaviour, zeros, hole and asymptotes, intercept, sign chart, then the curve
다섯 가지 특성을 차례로 구해 좌표평면에 하나씩 올린 다음, 마지막에 곡선을 잇는다. 빈 원이 구멍 (3, 1/3), 점선이 점근선이다.

G. 다항함수에서 부호표로 관통과 접함 검산

  1. 대상 함수를 정한다. \(f(x) = (x+2)(x-1)^2(x-3)\) 이다.
  2. 다섯 가지 특성을 구한다.
    1. 최고차항이 \(x^4\) 이므로 양 끝이 모두 위로 간다.
    2. \(x = -2\) 와 \(x = 3\) 에서 관통하고, \(x = 1\) 에서 접한다.
    3. \(f(0) = (2)(1)(-3) = -6\) 이다.
  3. 부호를 정한다. 네 구간에서 \(+, -, -, +\) 이다.
  4. 가운데 두 구간이 모두 음수임을 확인한다. \((x-1)^2\) 이 부호를 바꾸지 않기 때문이다.
  5. \(x = 1\) 에서 곡선이 아래에서 올라와 축에 닿고 다시 내려가도록 그린다.

경고 \(x = 1\) 에서 곡선이 축을 관통하게 그리면 부호표와 모순이 생긴다.

Sign chart of (x+2)(x-1)^2(x-3) filled interval by interval, with the matching piece of the curve drawn above or below the x-axis
부호표를 한 칸씩 채우면서 그 구간의 곡선을 그린다. 파란색은 양수 구간, 주황색은 음수 구간이다. 중복도 2인 x = 1의 양쪽은 모두 음수다.

참고 다섯 가지 특성이 정하지 않는 값도 있다. \((-2, 1)\) 에서 가장 낮은 점은 실제로 \(x \approx -1.15\), \(f \approx -16.3\) 이며, 미분을 해야 구해진다. 미분을 쓰지 않는 개형 분석의 목표는 위치 관계(어느 구간에서 축 위인지 아래인지, 어디서 닿고 어디서 관통하는지)이며, 극값의 정확한 높이는 포함하지 않는다.

H. 약분되는 인수와 남는 인수의 판정

  1. \(x = a\) 에서 원래 분모가 0이면 \(a\) 를 정의역에서 뺀다.
  2. 약분을 끝까지 한 결과로 판정한다.
    1. \(x - a\) 가 분모에 남으면 수직 점근선이다.
    2. 남지 않으면 약분된 식에 \(a\) 를 넣은 자리에 구멍이다.
  3. 같은 \(x\) 에서 구멍과 수직 점근선이 동시에 생기지 않음을 확인한다. 약분의 결과는 하나이기 때문이다.
  4. 정확한 판정은 인수의 소거가 아니라 분자와 분모의 중복도 비교로 한다.
    1. \(\frac{x-5}{(x-5)^2} = \frac{1}{x-5}\) 는 분모 쪽 중복도가 더 크므로 점근선이다.
    2. \(\frac{(x-5)^2}{x-5} = x - 5\) 는 분자 쪽 중복도가 더 크므로 구멍이다. 이 구멍은 \((5, 0)\) 으로 \(x\) 축 위에 있다.

I. 조건에 맞는 유리함수 구성

  1. 구멍 \((2, 1)\), 수직 점근선 \(x = -4\), 수평 점근선 \(y = 3\) 을 갖는 유리함수를 구성한다.
    1. 먼저 약분된 모양을 정한다. 수평 점근선 3과 수직 점근선 \(-4\) 에서 \(\frac{3(x - b)}{x + 4}\) 꼴이다.
    2. 구멍의 높이가 1이 되도록 \(\frac{3(2 - b)}{6} = 1\) 을 푼다. \(b = 0\) 이다.
    3. \(\frac{x-2}{x-2}\) 를 곱한다.
\[f(x) = \frac{3x(x-2)}{(x-2)(x+4)}\]
  1. 결과를 확인한다. 약분되는 \(x - 2\) 가 구멍을, 남는 \(x + 4\) 가 점근선을 만든다.
  2. 사선 점근선 \(y = 2x - 1\) 과 수직 점근선 \(x = 3\) 을 동시에 요구하는 함수를 \(\frac{(2x-1)(x-3) + k}{x - 3}\) 꼴로 둔다.

경고 \(k = 0\) 이면 \(x - 3\) 이 약분되어 그래프는 직선 \(y = 2x - 1\) 에 구멍 하나가 뚫린 것이 된다. 요구한 점근선은 사라진다. 반드시 \(k \neq 0\) 을 확인한다.

  1. \(k = 5\) 로 둔다. \(\frac{2x^2 - 7x + 8}{x - 3} = 2x - 1 + \frac{5}{x-3}\) 이다.
  2. 분자에 \(x = 3\) 을 넣는다. \(18 - 21 + 8 = 5 \neq 0\) 이므로 약분이 일어나지 않는다.

J. 점근선에서 구멍으로의 극한 과정

  1. 다음 함수족에서 \(\varepsilon\) 을 0으로 줄인다.
\[f_\varepsilon(x) = \frac{(x - 2 + \varepsilon)(x+1)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x+1}{x-3} + \frac{\varepsilon(x+1)}{(x-2)(x-3)}\]
  1. \(\varepsilon \neq 0\) 인 동안의 모양을 확인한다.
    1. \(x = 2\) 는 수직 점근선이다.
    2. 영점 \(x = 2 - \varepsilon\) 이 점근선 쪽으로 붙는다.
    3. 뒤쪽 항은 \(x = 2\) 근처에서 약 \(-\frac{3\varepsilon}{x-2}\) 이므로 곡선이 크게 튀는 구간의 폭이 \(\varepsilon\) 에 비례해 줄어든다.
    4. \(\varepsilon = 0.01\) 이면 그래프가 \(\lvert y \rvert \le 8\) 창 밖으로 나가는 구간은 \(x = 2\) 양쪽을 합쳐 폭 0.01 미만이다.
  2. \(\varepsilon = 0\) 에서 \(x - 2\) 가 약분된다. \(\frac{x+1}{x-3}\) 에 구멍 \((2, -3)\) 만 남는다.

참고 영점과 점근선이 같은 자리에서 만나 서로 소거되고, 그 흔적으로 점 하나가 빠진다.

As epsilon goes to 0, the zero at x = 2 - epsilon merges with the vertical asymptote x = 2 and leaves a hole at (2, -3)
ε이 1에서 0.01로 줄어드는 동안 영점 x = 2 − ε이 점근선 x = 2에 붙고, 곡선이 튀는 구간이 가늘어진다. ε = 0에서 점근선이 사라지고 구멍 (2, −3)만 남는다.
  1. 함수족 \(f_k(x) = \frac{x^2 + k}{x - 1}\) 에 같은 판정을 적용한다.
    1. 나누면 \(x + 1 + \frac{k+1}{x-1}\) 이다. 나머지 \(k + 1\) 은 나머지정리대로 분자에 \(x = 1\) 을 넣은 값이다.
    2. \(k \neq -1\) 이면 모두 같은 사선 점근선 \(y = x + 1\) 과 수직 점근선 \(x = 1\) 을 갖는다.
    3. \(k = -1\) 일 때만 점근선 대신 직선 위의 구멍 \((1, 2)\) 가 된다.
  2. \(\frac{x^2-4}{x-2}\) 와 \(\frac{x^2+4}{x-2}\) 를 비교한다.
    1. 앞의 함수는 구멍 \((2, 4)\) 가 뚫린 직선이다.
    2. 뒤의 함수는 \(x = 2\) 에 점근선이 있는 곡선이다.

참고 점근선인지 구멍인지를 가르는 계산은 분자에 그 \(x\) 를 넣었을 때 0이 되는지 여부 하나다.

K. 그래프에서 함수식 재구성

  1. 다섯 가지 특성을 역순으로 인수에 옮긴다.
    1. 수직 점근선은 분모의 인수다.
    2. \(x\) 절편은 분자의 인수다.
    3. 접하는 영점은 제곱 인수다.
    4. 구멍은 분자와 분모에 함께 넣는 인수다.
    5. 수평 점근선은 차수와 최고차계수의 비로 정한다.
  2. 남는 상수 하나는 \(y\) 절편으로 정한다.
  3. 그래프 위의 다른 점 하나로 검산한다(4.A, 4.B).

L. 조건이 충돌하거나 부족한 경우

  1. ”\(x = -2\) 에서 접하고 \(x = 3\) 에서 관통하며, 양 끝이 모두 내려가고, \(y\) 절편이 음수”인 다항식을 구성한다.
    1. 영점 두 개만 쓴 \(-(x+2)^2(x-3)\) 은 3차라서 양 끝이 반대 방향이 된다.
    2. 양 끝에서의 극한이 짝수 차수를 요구하므로 홀수 중복도의 영점이 하나 더 필요하다.
    3. \(-(x+2)^2(x-3)(x-c)\) 로 둔다. \(f(0) = -12c\) 이므로 \(y\) 절편이 음수이려면 \(c > 0\) 이다.
    4. \(c = 3\) 이면 \(x = 3\) 이 접하는 영점이 되므로 뺀다.
    5. \(c = 5\) 를 고르면 \(f(0) = -60\) 이다.

참고 이 문제의 핵심은 그림이 아니라 영점 두 개로는 조건을 만족할 수 없음을 확인하는 데 있다.

  1. 조건이 식을 하나로 정하지 못하는 경우를 확인한다.
    1. 수직 점근선 \(x = 2\) 하나, 수평 점근선 \(y = 0\), \(x\) 절편 \(x = -1\) 하나라는 조건을 둔다.
    2. 이 조건은 \(\frac{x+1}{(x-2)^2}\) 과 \(\frac{-3(x+1)}{(x-2)^2}\) 을 둘 다 허용한다.
    3. 세로 배율과 부호가 정해지지 않는다.
    4. 분모를 \((x-2)^3\) 으로 바꾸면 점근선 양쪽의 방향까지 바뀐다.

참고 함수식을 재구성하는 문제에서는 식 하나를 제시하는 것보다, 주어진 조건이 무엇을 정하고 무엇을 남기는지 밝히는 것이 더 완전한 분석이다.

4. 시험 및 검사

A. 유리함수 재구성 검산

  1. 수직 점근선 \(x = 1\), 수평 점근선 \(y = 1\), \(x\) 절편 3인 그래프에서 \(\frac{x-3}{x-1}\) 을 얻는다.
  2. 상수는 이미 수평 점근선이 정했음을 확인한다.
  3. 그래프에서 해석한 \(y\) 절편 3과 \(f(0) = \frac{-3}{-1} = 3\) 을 비교한다.
  4. 판정: 두 값이 일치한다. 이 비교는 독립적인 검산이다.

B. 다항함수 재구성 검산

  1. \(x = \pm 1, \pm 2\) 에서 모두 관통하고 \(y\) 절편이 \(-4\) 인 4차 다항식을 \(a(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)\) 로 둔다.
  2. \(f(0) = 4a\) 에서 \(a = -1\) 이다.
  3. 음수 \(a\) 가 양 끝이 모두 내려가는 모양과 맞는지 확인한다.
  4. \(f(1.5) = -(3.5)(2.5)(0.5)(-0.5) = \tfrac{35}{16} \approx 2.19\) 를 계산한다.
  5. 판정: 이 값이 \(x = 1\) 과 \(x = 2\) 사이의 작은 언덕 높이와 맞으면 합격이다.

5. 종료

A. 결과 정리

  1. 다항함수와 유리함수의 개형은 다섯 가지 대수적 특성으로 결정한다.
    1. 양 끝에서의 극한(3.B).
    2. 영점과 중복도(3.C).
    3. 불연속점: 구멍과 수직 점근선(3.D, 3.H).
    4. 절편(3.E).
    5. 부호 변화(3.F, 3.G).
  2. 다섯 가지 특성 중 하나라도 빠진 개형은 근거가 불완전하다.
  3. 개형을 그리는 방향이든 함수식을 재구성하는 방향이든 특성을 구하는 순서는 같다(3.K).