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화성의 역행 운동과 회합 주기

Physics Python Astronomy Planetary Motion

NOTE 21-10-01 · 화성의 역행 운동과 회합 주기

1. 일반 사항

A. 목적

  1. 이 노트는 화성의 역행을 지구의 추월에 따른 겉보기 효과로 설명한다.
  2. 추월 간격인 회합 주기(synodic period)를 각속도 차이로 유도한다.
\[\frac{1}{S} = \frac{1}{P_E} - \frac{1}{P_M}\]
  1. 원궤도 모형에서 정류 조건으로 역행 기간과 역행 호를 계산한다.

참고 화성은 궤도를 거꾸로 돌지 않는다. 안쪽 궤도를 더 빨리 도는 지구가 화성을 추월하는 동안, 지구에서 화성을 바라보는 시선이 배경별에 대해 잠깐 뒤로 돌아갈 뿐이다.

B. 적용 범위

  1. 두 궤도를 같은 평면의 원으로 놓은 모형에 적용한다.
  2. 지구 바깥 행성(화성, 목성)과 안쪽 행성(금성)의 회합 주기에 적용한다.
  3. 궤도 이심률과 궤도 경사의 효과는 4.C 에서 정성적으로만 다룬다.

C. 결과 요약

  1. 화성의 회합 주기는 779.9일, 약 2.14년이다.
  2. 원궤도 모형에서 역행은 충(opposition) 전후 36.4일씩, 모두 72.7일 동안 이어진다.
  3. 역행 동안 화성은 하늘에서 약 16°(수치 계산값 15.9°) 되돌아간다.
  4. 금성의 회합 주기는 583.9일이고, 역행은 42.1일, 되돌아가는 각도는 16.1°다.

2. 준비 정보

A. 필요한 개념

  1. 각속도 \(\omega = 2\pi/P\)와 2차원 벡터의 외적을 알아야 한다.

C. 사용 프로그램

항목 용도
Python, numpy, matplotlib, Pillow 원궤도 모형 계산과 GIF 생성

D. 관련 파일

파일 내용
make_gifs.py 원궤도 모형 계산(회합 주기, 역행 시작·끝과 역행 호, 정류 조건)과 GIF 두 개를 만드는 스크립트. numpy, matplotlib, Pillow 필요. 실행하면 본문의 수치를 출력한다.

3. 절차

A. 궤도 상수 설정

  1. 일반적으로 알려진 궤도 값을 쓴다.
행성 궤도 반지름 (AU) 공전 주기 (일)
지구 1 365.25
화성 1.524 686.98
금성 0.723 224.70
  1. 년 단위 주기 1.881년(화성), 0.615년(금성)과 일치함을 확인한다.

B. 시선 방향과 역행 판정

  1. 행성의 위치를 먼 배경별 기준의 방향, 곧 황경(ecliptic longitude)으로 나타낸다.
  2. 지구에서 화성으로 그은 직선의 방향만 추적한다.

참고 배경별은 사실상 무한히 멀어서 지구가 궤도 위 어디에 있든 같은 방향에 보인다. 따라서 시선의 방향 변화가 곧 겉보기 운동이다.

Earth and Mars on circular orbits with the Earth-to-Mars line of sight, and Mars's apparent longitude versus time with the retrograde segment highlighted
왼쪽: 태양 위에서 내려다본 지구와 화성의 원궤도(실제 반지름·주기 비율, 같은 평면). 점선이 지구에서 화성을 보는 시선이다. 오른쪽: 그 시선의 황경을 충 기준 −274일부터 +274일까지 그린 것. 황경이 줄어드는 구간(주황)이 역행이다.
  1. 충의 배치를 확인한다. 두 행성은 태양 같은 쪽에 일직선으로 서고, 같은 방향으로 움직인다.
  2. 공전 속력을 비교한다. 지구는 29.8 km/s, 화성은 24.1 km/s로 지구가 더 빠르다.
  3. 속도를 AU/일로 바꾼다. 지구는 다음과 같다.
\[v_E = \frac{2\pi \times 1}{365.25} = 0.01720\]
  1. 화성은 다음과 같다.
\[v_M = \frac{2\pi \times 1.524}{686.98} = 0.01394\]
  1. 충 순간의 시선 회전 속도를 구한다. 두 행성 사이 거리는 0.524 AU 이다(d는 일).
\[\dot\lambda = \frac{v_M - v_E}{0.524} = -0.00623\ \text{rad}\,\text{d}^{-1} = -0.357^\circ\,\text{d}^{-1}\]
  1. 판정: 값이 음수이므로 충에서 화성은 역행한다.
  2. 합(conjunction)의 배치를 확인한다. 화성이 태양 너머에 있고, 두 행성은 서로 반대 방향으로 움직이는 것으로 보인다.
  3. 합에서의 시선 회전 속도를 구한다. 상대 속도는 두 속력의 합이고 거리는 2.524 AU 이다.
\[\dot\lambda = \frac{v_M + v_E}{2.524} = +0.707^\circ\,\text{d}^{-1}\]
  1. 판정: 합에서 화성은 빠르게 순행한다.

참고 화성의 겉보기 운동은 대부분의 시간 동안 순행이고, 지구가 추월하는 짧은 구간에서만 방향이 바뀐다. 위 그림 오른쪽 그래프가 대부분 증가하고 충 근처에서만 약간 감소하는 이유다.

C. 회합 주기 유도

  1. 각속도를 \(\omega = 2\pi/P\)로 둔다. 지구는 하루에 \(\omega_E\), 화성은 \(\omega_M\)만큼 돈다.
  2. 충에서 출발한 두 행성 사이의 각도를 \((\omega_E - \omega_M)t\)로 쓴다.
  3. 이 각도가 \(2\pi\)가 되는 시간 \(S\)를 구한다. 이때 지구가 한 바퀴 더 돌아 화성을 다시 추월한다.
\[(\omega_E - \omega_M)\,S = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{S} = \frac{1}{P_E} - \frac{1}{P_M}\]
  1. 수치를 대입한다.
\[\frac{1}{S} = \frac{1}{365.25} - \frac{1}{686.98} = 0.0027379 - 0.0014556 = 0.0012822\ \text{d}^{-1}\]
  1. \(S = 779.9\)일, 2.135년을 얻는다.
  2. 년 단위로 확인한다. \(1/S = 1 - 1/1.881 = 0.4683\)이다.

참고 화성 탐사선 발사 기회가 약 26개월마다 돌아오는 것도 이 주기 때문이다.

Earth and Mars starting aligned at opposition and realigning after 779.9 days, with accumulated orbital angles and their difference reaching 360 degrees
충에서 출발한 지구와 화성이 다시 일직선이 될 때까지. 오른쪽은 각 행성이 돈 누적 각도와 그 차이(점선)이다. 차이가 360°가 되는 779.9일에 다시 충이 된다. 그동안 지구는 768.7°, 화성은 408.7° 돈다.
  1. 역행은 추월 때만 일어나므로 역행도 779.9일마다 한 번 일어남을 확인한다.
  2. 한 회합 주기 중 역행하는 기간은 72.7일로, 전체의 9 % 남짓이다.

참고 실제 화성 궤도는 이심률 0.093의 타원이다. 그래서 충 사이 간격이 매번 조금씩 다르고, 779.9일은 그 평균에 해당한다.

D. 케플러 제3법칙과의 결합

  1. 주기를 년, 궤도 긴반지름을 AU로 쓴다. 태양계에서 케플러 제3법칙은 다음과 같다.
\[P^2 = a^3\]
  1. 화성에 적용한다. \(P = 1.524^{3/2} = 1.881\)년, 687.2일이다.
  2. 이 식을 회합 주기 식에 넣는다. 바깥 행성의 회합 주기는 궤도 반지름 하나로 정해진다(\(S\)는 년 단위).
\[\frac{1}{S} = 1 - a^{-3/2}\]
  1. 행성별 회합 주기를 계산한다. 표의 회합 주기는 관측 항성 주기(금성 224.70일, 화성 686.98일, 목성 11.86년)로 계산했다. 금성은 3.E 의 부호를 쓴다.
행성 \(a\) (AU) 케플러 \(P\) (년) 회합 주기 \(S\)
금성 0.723 0.615 583.9일 (1.60년)
화성 1.524 1.881 779.9일 (2.14년)
목성 5.203 11.87 398.9일 (1.09년)
  1. \(a\)가 클수록 \(a^{-3/2}\)가 0에 가까워져 \(S\)가 1년으로 수렴함을 확인한다.
  2. \(P\)가 1년에 가까울수록 추월이 느려 \(S\)가 길어짐을 확인한다.

참고 목성처럼 거의 멈춰 있는 행성은 지구가 한 바퀴 돌고 조금만 더 가면 다시 추월된다. 화성의 회합 주기가 목성보다 긴 것은 화성의 공전 주기가 1년에 더 가깝기 때문이다.

  1. 회합 주기 식을 항성 주기에 대해 푼다.
\[\frac{1}{P_M} = \frac{1}{P_E} - \frac{1}{S}\]

참고 관측으로 직접 재기 쉬운 양은 충과 충 사이의 간격이다. 붙박이별 기준의 실제 공전 주기가 항성 주기(sidereal period)이고, 지구에서 본 같은 배치가 되풀이되는 간격이 회합 주기다. 전자는 행성 단독의 성질이고, 후자는 지구와의 상대 운동이다.

E. 안쪽 행성: 금성

  1. 금성은 지구보다 안쪽에서 더 빨리 돈다. 이 경우 금성이 지구를 추월한다.
  2. 각도 차를 \((\omega_V - \omega_E)t\)로 쓰고 회합 주기를 구한다.
\[\frac{1}{S} = \frac{1}{P_V} - \frac{1}{P_E} = \frac{1}{224.70} - \frac{1}{365.25}\]
  1. \(S = 583.9\)일(1.60년)을 얻는다.
  2. 바깥 행성과 안쪽 행성을 한 식으로 쓴다.
\[\frac{1}{S} = \left\lvert \frac{1}{P_E} - \frac{1}{P} \right\rvert\]
  1. 역행이 일어나는 배치를 구별한다.
    1. 화성은 지구가 태양과 화성 사이에 들어오는 충에서 역행한다.
    2. 금성은 금성이 지구와 태양 사이에 들어오는 내합(inferior conjunction)에서 역행한다.
  2. 같은 원궤도 모형으로 금성의 역행을 계산한다. 역행 기간은 42.1일, 되돌아가는 각도는 16.1°다.

참고 금성의 역행은 태양 근처에서 일어나므로 관측하기 어렵다.

F. 정류 조건으로 역행 기간 계산

  1. 정류(stationary point)를 정의한다. 시선 방향의 회전이 멈추는 순간으로, 역행의 시작과 끝이다.
  2. 태양 중심 좌표에서 지구를 \(\mathbf r_E = (1, 0)\)에 둔다.
  3. 화성을 지구보다 각도 \(\theta\) 앞선 \(\mathbf r_M = a(\cos\theta, \sin\theta)\)에 둔다.
  4. 속도를 적는다. \(\mathbf v_E = \omega_E(0, 1)\), \(\mathbf v_M = a\omega_M(-\sin\theta, \cos\theta)\)이다.
  5. 시선 \(\mathbf d = \mathbf r_M - \mathbf r_E\)의 회전 속도를 \((\mathbf d \times \dot{\mathbf d})/\lvert\mathbf d\rvert^2\)로 쓴다.
  6. 회전 속도가 0인 조건을 세운다.
\[(\mathbf r_M - \mathbf r_E) \times (\mathbf v_M - \mathbf v_E) = a^2\omega_M + \omega_E - a(\omega_E + \omega_M)\cos\theta = 0\]
  1. \(\cos\theta\)에 대해 푼다.
\[\cos\theta = \frac{a^2\omega_M + \omega_E}{a(\omega_E + \omega_M)}\]
  1. \(\omega_E = 1\)로 둔다. \(\omega_M = 365.25/686.98 = 0.5317\)이다.
  2. 대입한다. \(\cos\theta = 2.2349/2.3343 = 0.9574\), \(\theta = 16.78^\circ\)이다.
  3. 두 행성 사이 각도의 변화율을 구한다. 하루에 \(360^\circ/779.9 = 0.4616^\circ\)이다.
  4. 충에서 정류점까지 36.4일, 역행 전체 72.7일을 얻는다.

4. 시험 및 검사

A. 수치 계산과 해석 결과 비교

  1. 정류 조건 식을 쓰지 않고 0.001일 간격으로 겉보기 황경을 계산한다. 첫 번째 GIF 는 이 계산으로 만들었다.
  2. \(d\lambda/dt < 0\)인 구간을 찾는다.
  3. 결과를 확인한다. 역행 시작 −36.4일, 끝 +36.4일, 합 72.7일, 역행 호 15.9°이다.
  4. 판정: 3.F 의 해석 결과와 같으므로 합격이다.

경고 역행 호(15.9°)와 정류 각 \(\theta\)(16.78°)는 값이 비슷하지만 다른 양이다. \(\theta\)는 태양에서 본 두 행성 사이 각도이고, 역행 호는 지구에서 본 화성이 배경별 사이로 되돌아간 각도다.

B. 주기 값의 상호 확인

  1. 케플러 제3법칙의 화성 주기 687.2일을 관측값 686.98일과 비교한다. 차이는 0.03 % 이다.
  2. 3.D 의 역산 식에 \(S = 779.9\)일을 넣는다. 686.98일이 그대로 돌아온다.

C. 관측값 비교와 모형의 한계

  1. 실제 화성의 역행 기간은 평균 약 72일로 알려져 있다. 원궤도 모형과 1일 이내로 일치한다.
  2. 실제 역행 기간은 충마다 대략 60~80일 사이에서 달라진다. 모형이 버린 이심률 때문이다.

참고 화성이 근일점 근처에서 충을 맞는지, 원일점 근처에서 맞는지에 따라 지구와의 거리와 화성의 공전 속력이 달라진다. 그 결과 역행 기간과 되돌아가는 각도도 변한다.

  1. 모형이 버린 궤도 경사를 확인한다. 화성 궤도는 지구 궤도면에 대해 약 1.85° 기울어 있다.
  2. 역행 동안 황위도 함께 변함을 확인한다.

참고 실제 하늘에서 화성이 그리는 경로는 같은 선을 왕복하는 모양이 아니라 작은 고리나 Z자 모양이다. 3.B 의 그래프는 그 경로를 황경 방향으로만 투영한 것이다.

5. 종료

A. 결과 정리

  1. 화성의 역행은 지구가 화성을 추월할 때 시선 방향이 되감기는 겉보기 효과다.
  2. 추월 간격인 회합 주기는 \(1/S = \lvert 1/P_E - 1/P \rvert\)이며, 화성은 779.9일이다.
  3. 원궤도 모형의 정류 조건에서 역행 기간 72.7일을 얻고, 수치 계산과 관측 평균값으로 확인한다.