함수의 변환과 역함수

NOTE 12-10-01 · 함수의 변환과 역함수

1. 일반 사항

A. 목적

이 노트는 \(y = f(ax+b)\) 의 그래프 변환을 안쪽 일차함수의 역변환으로 설명한다.
같은 원리를 역함수의 일대일 조건, 정의역 제한, y = x 대칭, 검산으로 확장한다.

참고 \(y = f(2x+3)\)의 그래프는 \(y = f(x)\)를 왼쪽으로 3이 아니라 1.5만큼 옮긴 것이다. 정확히는 가로로 1/2배 줄인 뒤 왼쪽으로 1.5 옮긴 것이다. \(f(2(x+1.5))\)로 묶어 쓰면 이동량이 식에 그대로 나타난다. 괄호 안에서 x에 가해진 연산은 그래프 위에서 역연산으로, 그리고 역순으로 작용한다. 이 성질은 곧 역함수의 성질이다.

B. 적용 범위

실함수 \(y = a\,f\bigl(b(x - c)\bigr) + d\) 꼴의 평행이동, 신축, 대칭이동에 적용한다.
일대일 함수, 그리고 정의역을 제한해 일대일로 만든 함수의 역함수에 적용한다.

C. 결과 요약

\(y = f(x)\) 위의 점 \((u, v)\)는 \(y = f(bx + k)\) 에서 \(\bigl((u-k)/b,\ v\bigr)\) 로 간다.
안쪽 연산은 역연산으로, 역순으로 작용한다. 바깥 연산은 적힌 순서대로 작용한다.
역함수가 존재하려면 함수가 일대일이어야 한다. 일대일이 아니면 정의역을 제한한다.
역함수의 그래프는 원래 그래프를 y = x 에 대해 반사한 것이다.
\(f(f^{-1}(x)) = x\) 와 \(f^{-1}(f(x)) = x\) 는 각자의 정의역에서만 성립한다.

2. 준비 정보

A. 필요한 개념

함수의 정의역, 치역, 합성의 정의를 알아야 한다.

D. 관련 파일

파일	내용
`make_gifs.py`	본문 애니메이션 세 개를 만드는 스크립트 (matplotlib + Pillow, IBM Plex Sans KR 글꼴)

python make_gifs.py    # -> images/blog/function-transformations-and-inverses/*.gif

3. 절차

A. 점 추적으로 가로 변환 결정

기준 함수로 \(f(x) = \sqrt{x}\)를 쓴다. 끝점 \((0, 0)\)이 있어 이동이 그래프에 분명히 나타난다.
\(y = \sqrt{2x+3}\)의 끝점을 구한다. 근호 안이 0이 되는 곳이다.

\[2x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -1.5\]

원래 그래프의 점 \((4, 2)\)의 이동을 구한다. 근호 안이 4가 되는 곳이므로 \(2x + 3 = 4\), \(x = 0.5\)이다.
두 점 모두 x좌표가 정확히 1.5 줄었음을 확인한다.
3만큼 이동했다는 가설을 기각한다. 그 경우 끝점은 \(-3\)이어야 하지만 \(\sqrt{2(-3)+3} = \sqrt{-3}\)은 정의되지 않는다.
일반화한다. \(y = f(x)\) 위의 점 \((u, v)\)는 \(y = f(bx + k)\)에서 다음 x 로 간다.

\[bx + k = u \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{u - k}{b}\]

y좌표는 변하지 않음을 확인한다.

참고 괄호 안의 식을 원래 x값 \(u\)와 같다고 놓고 x에 대해 푼다. 이 방정식 하나로 가로 방향 이동과 신축이 한꺼번에 처리되므로 변환 순서를 따로 정할 필요가 없다.

sqrt(x) compressed horizontally by 1/2 then shifted left by 1.5 to give sqrt(2x+3); dashed wrong curve sqrt(2x+6) — y = √x를 가로 1/2배 한 뒤 왼쪽으로 1.5 옮기면 y = √(2x+3)이 된다. 끝점은 (−1.5, 0), 점 (4, 2)는 (0.5, 2)로 간다. 회색 점선은 1/2배 한 뒤 3을 옮긴 y = √(2x+6)으로, 다른 함수다.

B. 안쪽 연산과 바깥 연산의 순서

\(f(2x+3)\)에서 x에 가해지는 연산을 확인한다. 2를 곱한 뒤 3을 더한다.
그래프 위 점의 이동 \(x = (u-3)/2\)를 확인한다. 3을 뺀 뒤 2로 나눈다.
각 연산이 역연산으로 바뀌고 순서가 뒤집혔음을 확인한다.

경고 주요 오개념은 두 해석을 섞는 것이다. “2x이므로 먼저 1/2배, +3이므로 왼쪽으로 3”으로 처리하면 \(f(2x)\)의 x 자리에 \(x+3\)을 넣은 \(f(2x+6)\)이 된다. 이는 목표와 다른 함수다. 위 애니메이션의 회색 점선이 이 함수이고, 끝점이 \(-3\)에 있다.

아래 두 해석 중 하나를 택한다. 두 해석 모두 맞다.

해석 방법	첫 단계	둘째 단계
식 그대로 \(f(2x+3)\)	왼쪽으로 3 (\(f(x+3)\))	가로 1/2배 (\(x \to 2x\) 대입, \(f(2x+3)\))
묶어서 \(f(2(x+1.5))\)	가로 1/2배 (\(f(2x)\))	왼쪽으로 1.5 (\(x \to x+1.5\) 대입)

첫 해석을 확인한다. \(f(x+3)\)의 x 자리에 2x를 넣으면 \(f(2x+3)\)이 정확히 나온다.
둘째 해석을 확인한다. \(f(2x)\)의 x 자리에 \(x + 1.5\)를 넣은 것이다.
가로 계수를 밖으로 묶어 표준형으로 쓴다.

\[y = a\,f\bigl(b(x - c)\bigr) + d\]

가로 방향 변환을 정한다. 1/b배 신축(b < 0이면 y축 대칭 포함) 후 c만큼 이동한다.
바깥 연산을 정한다. \(y = a f(\cdot) + d\)는 f를 계산하고, a를 곱하고, d를 더한다.
그래프도 같은 순서로 변환한다. 세로 a배 후 d만큼 이동한다.

참고 바깥 연산이 역연산으로 바뀌지 않는 이유는 y가 출력, 곧 직접 계산되는 쪽이기 때문이다. 바깥에서도 순서가 바뀌면 결과가 바뀐다. \(2f(x) + 1\)과 \(2(f(x) + 1) = 2f(x) + 2\)는 다른 함수다.

C. 적용 예: y = −2√(x+3) − 1

가로 변환을 정한다. 왼쪽으로 3이다.
세로 변환을 정한다. 세로 2배, x축 대칭, 아래로 1이다.
끝점을 추적한다. \((0, 0)\)은 \(x + 3 = 0\)에서 \((-3,\ -2\cdot 0 - 1) = (-3, -1)\)로 간다.
점 \((4, 2)\)를 추적한다. \(x + 3 = 4\)에서 \((1,\ -2\cdot 2 - 1) = (1, -5)\)로 간다.
정의역 \([-3, \infty)\), 치역 \((-\infty, -1]\)을 얻는다.

참고 가로 변환과 세로 변환은 서로 독립이므로 어느 쪽을 먼저 처리해도 된다. 순서가 결과를 바꾸는 것은 같은 방향 안에서뿐이다.

D. 삼각함수 표준형의 순서 오류

경고 \(y = 2\sin\bigl(3(x - \tfrac{\pi}{6})\bigr) + 1\)을 “먼저 오른쪽으로 π/6, 그다음 가로 1/3배 압축”으로 해석하면 틀린다. 압축이 y축 기준이면 이 순서는 다른 함수를 준다.

잘못된 순서를 대입으로 확인한다. \(\sin(x - \tfrac{\pi}{6})\)의 x 자리에 3x를 넣으면 \(\sin(3x - \tfrac{\pi}{6})\)이 된다.
이 경우 이동량이 π/18로 줄어듦을 확인한다.
올바른 순서 중 하나를 택한다.
1. 압축을 먼저 하고 π/6을 옮긴다.
2. 식 그대로 π/2만큼 옮긴 뒤 압축한다(\(3x - \tfrac{\pi}{2} = 3(x - \tfrac{\pi}{6})\)).

E. 역변환과 역함수의 관계

안쪽 함수를 \(g(x) = 2x + 3\)으로 둔다.
\(y = f(g(x))\)의 그래프는 \(f\)의 점 \((u, v)\)를 \((g^{-1}(u), v)\)로 옮긴 것이다.
\(g\)의 역함수를 구한다.

\[g^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}\]

\(g^{-1}\)가 3.B 의 “3을 빼고 2로 나누기”와 같음을 확인한다.

참고 양말을 신고 신발을 신었으면 벗을 때는 신발부터 벗는다. 합성함수의 역함수가 \((f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}\)으로 순서가 뒤집히는 것도 같은 이유다. 따라서 역함수는 변환 순서를 정할 때 이미 사용한 구조다.

경고 \(f^{-1}(x)\)의 −1은 지수가 아니다. −1이 함수 이름에 붙으면 역함수, 수에 붙으면 역수다.

역함수와 역수를 구별한다.
1. \(f(x) = x + 3\)이면 \(f^{-1}(x) = x - 3\)이지만 \(\dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{1}{x+3}\)이다.
2. \(f(3) = -5\)일 때 \(f^{-1}(-5) = 3\)이고 \([f(3)]^{-1} = -\tfrac{1}{5}\)이다.

F. 일대일 조건과 수평선 검사

일대일(one-to-one)을 정의한다. 서로 다른 입력이 서로 다른 출력을 내는 성질이다.

\[f(x_1) = f(x_2) \;\Longrightarrow\; x_1 = x_2\]

\(g(x) = 2x + 3\)이 일대일임을 확인한다. 출력 4에 대응하는 입력은 0.5 하나다.
\(f(x) = x^2\)이 일대일이 아님을 확인한다. \(f(-1.5) = f(1.5) = 2.25\)이므로 출력 2.25에서 입력을 하나로 정할 수 없다.
수평선 검사(horizontal line test)를 적용한다. 모든 수평선이 그래프와 많아야 한 점에서 만나야 일대일이다.
\(y = x^2\)에서 수평선 \(y = 2.25\)가 곡선과 두 점에서 만남을 확인한다.

참고 수직선 검사는 그래프가 함수인지를 판정하고, 수평선 검사는 역함수가 존재하는지를 판정한다.

Horizontal line sweeping over y = x^2 on all reals (two intersections) and on x >= 0 (one intersection) — 수평선을 위아래로 움직이면 전체 정의역의 y = x²은 y > 0인 모든 높이에서 두 점과 만나고, x ≥ 0으로 제한한 그래프는 y ≥ 0인 모든 높이에서 한 점과 만난다. 마지막 장면은 y = 2.25이고, 교점은 왼쪽이 x = ±1.5, 오른쪽이 x = 1.5다.

G. 정의역 제한

일대일이 아닌 함수는 정의역을 제한해 일대일로 만든다.
\(x^2\)을 \(x \geq 0\)으로 제한하면 역함수는 \(\sqrt{x}\), \(x \leq 0\)으로 제한하면 \(-\sqrt{x}\)다.

참고 근호 앞의 부호는 관행이 아니라 제한한 정의역이 정한다.

다음 함수의 역함수를 구한다.

\[f(x) = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4, \qquad x \geq 3\]

일대일임을 확인한다. 꼭짓점 \((3, -4)\) 오른쪽만 남았으므로 증가함수다.
\(y = (x-3)^2 - 4\)를 x에 대해 푼다. \(x - 3 = \pm\sqrt{y + 4}\)이다.
\(x \geq 3\)이면 \(x - 3 \geq 0\)이므로 양의 부호만 남긴다.
문자를 바꾼다.

\[f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x + 4}, \qquad \operatorname{dom} f^{-1} = [-4, \infty),\quad \operatorname{ran} f^{-1} = [3, \infty)\]

정의역과 치역이 서로 자리를 바꾸었음을 확인한다.

경고 포물선은 꼭짓점에서 잘라야 한다. 포물선은 꼭짓점을 지나는 세로선에 대해 대칭이므로, 다른 곳에서 자르면 대칭인 점 한 쌍이 같은 쪽에 남는다. 예를 들어 \(x^2 + 6x + 5 = (x+3)^2 - 4\)를 영점인 \(x \geq -5\)에서 자르면 \(f(-4) = f(-2) = -3\)이 여전히 남는다.

H. y = x 에 대한 대칭

\((a, b)\)가 \(f\)의 그래프 위에 있으면 \(f(a) = b\), 곧 \(f^{-1}(b) = a\)이다.
따라서 \((b, a)\)는 \(f^{-1}\)의 그래프 위에 있다. 역함수 그래프는 모든 점의 두 좌표를 맞바꾼 것이다.
두 점 \((a, b)\)와 \((b, a)\)의 중점을 구한다. 이 점은 직선 y = x 위에 있다.

\[\left(\frac{a+b}{2},\ \frac{a+b}{2}\right)\]

두 점을 잇는 방향 \((b - a,\ a - b)\)와 y = x의 방향 \((1, 1)\)의 내적이 0임을 확인한다.
y = x가 두 점을 잇는 선분의 수직이등분선이므로, 좌표 교환은 y = x에 대한 반사다.

경고 “\((a, b)\)이면 \((-a, -b)\)“는 주요 오개념이다. 이는 원점 대칭이며 역함수가 아니다.

Points on y = e^x move perpendicular to y = x to their mirror images, tracing y = ln x — y = eˣ 위의 점 (a, eᵃ)가 y = x에 수직으로 움직여 (eᵃ, a)로 가고, 그 점들이 y = ln x를 이룬다. (0, 1)은 (1, 0)으로, (1, e) ≈ (1, 2.72)는 (e, 1)로 간다.

정의역과 치역의 교환을 확인한다. \(e^{x}\)의 치역 \((0, \infty)\)가 \(\ln x\)의 정의역이 된다.
점근선의 교환을 확인한다. \(e^{x}\)의 점근선 \(y = 0\)은 \(\ln x\)에서 y축, \(x = 0\)이 된다.
그래프가 y = x 위의 점을 지나면 그 점은 반사해도 그대로이므로 \(f\)와 \(f^{-1}\)의 교점이다.
그래프 전체가 y = x에 대해 대칭이면 \(f^{-1} = f\)이다. \(f(x) = \dfrac{x+4}{x-1}\)이 그 예다.

I. 역함수의 대수적 계산

\(y = f(x)\)로 쓴다.
x와 y를 바꾼다.
y에 대해 푼다.
\(f(x) = \dfrac{2x+3}{x-1}\)에 적용한다. x와 y를 바꾸면 \(x = \dfrac{2y+3}{y-1}\)이다.

\[x(y - 1) = 2y + 3 \;\Longrightarrow\; xy - 2y = x + 3 \;\Longrightarrow\; y = \frac{x+3}{x-2}\]

결과를 적는다. \(f^{-1}(x) = \dfrac{x+3}{x-2}\), 정의역은 \(x \neq 2\)이다.

4. 시험 및 검사

A. 합성 검산 f(f⁻¹(x)) = x

구한 \(f^{-1}\)을 반드시 원래 함수 \(f\)에 넣어 검산한다.

\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr) = \frac{2\cdot\dfrac{x+3}{x-2} + 3}{\dfrac{x+3}{x-2} - 1} = \frac{\dfrac{5x}{x-2}}{\dfrac{5}{x-2}} = x\]

판정: 결과가 x이므로 합격이다.
\(\operatorname{ran} f = \operatorname{dom} f^{-1}\)이므로 \(f\)의 치역이 \(y \neq 2\)임을 그래프 없이 얻는다.
이 결과가 \(f\)의 수평 점근선 \(y = 2\)와 일치함을 확인한다.

B. 정의역 제한과 검산

3.G 의 \(x \geq 3\) 예에서 \(f(f^{-1}(x)) = (\sqrt{x+4})^2 - 4 = x\)를 확인한다. \(x \geq -4\)에서 성립한다.
반대 방향을 계산한다.

\[f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = 3 + \sqrt{(x-3)^2} = 3 + \lvert x - 3 \rvert\]

이 값은 \(x \geq 3\)일 때만 x가 됨을 확인한다.
제한 밖의 \(x = 1\)을 넣는다. \(f(1) = 0\), \(f^{-1}(0) = 5\)이므로 1이 돌아오지 않는다.

참고 정의역 제한은 장식이 아니라 역함수가 성립하기 위한 조건이다. 위의 반대 방향 합성이 이를 보인다.

C. 가로 이동량과 역함수의 대조

3.A 의 \(f(2x+3)\)에서 왼쪽으로 1.5라는 이동량을 역함수로 다시 구한다.
끝점 \(u = 0\)이 옮겨 가는 자리는 \(g^{-1}(0) = (0 - 3)/2 = -1.5\)이다. 3.A 의 결과와 일치한다.

5. 종료

A. 결과 정리

안쪽 일차변환 \(g\)는 그래프에 역변환 \(g^{-1}\)로 작용한다.
점 추적에 의한 변환 계산은 역함수 계산의 특수한 경우다.
역함수는 일대일 조건, 정의역 제한, 정의역을 고려한 합성 검산과 함께 다룬다.