극한의 ε-δ 정의

NOTE 11-10-01 · 극한의 ε-δ 정의

1. 일반 사항

A. 목적

이 노트는 극한의 ε-δ 정의를 양화사 \(\forall\), \(\exists\) 가 교대하는 논리 구조로 해설한다.
이 노트는 일차·이차·유리함수에서 \(\delta\) 를 구성하는 절차를 제시한다.
이 노트는 정의의 부정 명제로 극한이 존재하지 않음을 증명하는 절차를 제시한다.

참고 ε-δ 정의의 핵심 난점은 기호가 아니라 “어느 쪽이 먼저 무엇을 고르는가”라는 양화사 순서다. 이 노트는 정의를 두 참가자의 게임으로 해석한다. 상대가 허용 오차 \(\varepsilon\) 을 제시하면, 증명하는 쪽은 그 \(\varepsilon\) 을 보고 \(\delta\) 를 제시한다. 어떤 \(\varepsilon\) 에도 성립하는 \(\delta\) 공식이 있으면 극한이 증명된다. 이 틀에서 \(\delta = \min(1, \varepsilon/7)\) 같은 선택과 극한의 비존재 증명이 같은 구조의 연장으로 설명된다.

B. 적용 범위

실변수 함수의 한 점 \(x \to a\) 에서의 유한 극한 \(L\) 에 적용한다.
일차함수, 이차함수, 유리함수의 \(\delta\) 구성을 다룬다.
극한의 비존재 증명은 \(\lvert x \rvert / x\) 와 \(\sin(1/x)\) 의 \(x \to 0\) 를 다룬다.

C. 결과 요약

일차함수 \(mx + b\) (\(m \neq 0\)) 에서는 \(\delta = \varepsilon/\lvert m \rvert\) 이다.
\(\lim_{x \to 3} x^2 = 9\) 에서는 \(\delta = \min(1, \varepsilon/7)\) 이다. min 이 없으면 \(\varepsilon = 10\) 에서 반례가 생긴다.
\(\lim_{x \to 2} (x+1)/(x-1) = 3\) 에서는 \(\delta = \min(1/2, \varepsilon/4)\) 이다. 제한 반지름은 분모의 영점까지 거리보다 작아야 한다.
극한의 부정은 \(\exists \varepsilon,\ \forall \delta,\ \exists x\) 꼴이며, “이면”이 “이면서”로 바뀐다.

2. 준비 정보

A. 필요한 개념

절댓값 부등식과 삼각부등식을 다룰 수 있어야 한다.
전칭 기호(\(\forall\))와 존재 기호(\(\exists\))의 의미를 알아야 한다.

C. 사용 프로그램

항목	용도
Python, matplotlib, Pillow	그림 GIF 두 개 생성(`make_gifs.py`)

D. 관련 파일

make_gifs.py — 위 GIF 두 개를 만드는 스크립트 (matplotlib, Pillow)

python make_gifs.py    # -> images/blog/epsilon-delta-limit-definition/*.gif

3. 절차

A. 정의의 양화사 구조

극한의 정의를 다음과 같이 쓴다.

\[\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0 :\ 0 < \lvert x - a \rvert < \delta \implies \lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon\]

양화사 순서대로 게임 규칙으로 해석한다.
1. 상대(의심하는 쪽)가 먼저 양수 \(\varepsilon\) 을 고른다. “\(f(x)\) 를 \(L\) 에서 이만큼 안쪽으로 붙들어 둘 수 있는가”라는 도전이다.
2. 증명하는 쪽이 양수 \(\delta\) 를 고른다.
3. \(a\) 에서 \(\delta\) 이내(\(a\) 자체는 제외)의 모든 \(x\) 에 대해 \(\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon\) 이면 증명하는 쪽이 이긴다.
4. 극한이 \(L\) 이라는 명제는 상대가 어떤 \(\varepsilon\) 을 골라도 이기는 전략이 존재한다는 뜻이다.
\(\lim_{x \to 3}(2x+1) = 7\) 에 적용한다.
1. \(\lvert (2x+1) - 7 \rvert = 2\lvert x - 3 \rvert\) 이다.
2. \(\varepsilon = 0.1\) 이면 \(\lvert x - 3 \rvert < 0.05\) 이면 되므로 \(\delta = 0.05\) 로 답한다.
3. \(\varepsilon = 0.001\) 이면 \(\delta = 0.0005\) 로 답한다.
개별 계산 대신 공식 \(\delta = \varepsilon/2\) 를 제시한다. 이 공식 하나로 모든 \(\varepsilon\) 에 대해 이긴다.

참고 증명은 \(\delta\) 공식을 제시하고, 그 공식이 항상 이긴다는 것을 보이는 일이다.

게임 구조에서 두 성질을 확인한다.
1. \(\delta\) 는 \(\varepsilon\) 을 본 뒤에 고르므로 \(\varepsilon\) 에 의존해도 된다.
2. \(x\) 는 \(\delta\) 를 정한 뒤 상대가 구간 안에서 임의로 고른다. 따라서 \(\delta\) 는 \(x\) 에 의존하면 안 된다.
3. 이기는 \(\delta\) 보다 작은 \(\delta\) 도 역시 이긴다. 구간을 좁히면 상대가 고를 수 있는 \(x\) 가 줄어들 뿐이다.

참고 3.D 와 3.E 의 min 구성은 모두 마지막 성질, 즉 더 작은 \(\delta\) 도 이긴다는 성질에 근거한다.

B. δ 구성의 두 단계

경고 예비 계산 순서를 그대로 답안에 옮기면 결론에서 출발해 가정을 끌어내는 글이 된다. 이 글은 증명이 아니다.

예비 계산에서 \(\lvert f(x) - L \rvert\) 를 \(\lvert x - a \rvert\) 에 대한 식으로 바꾼다.
이 식이 \(\varepsilon\) 보다 작아지려면 \(\lvert x - a \rvert\) 가 얼마나 작아야 하는지 거꾸로 푼다. 여기서 \(\delta\) 가 나온다.
답안은 순서를 뒤집어 앞에서부터 쓴다. “임의의 \(\varepsilon > 0\) 이 주어졌다. \(\delta = \cdots\) 로 둔다. \(0 < \lvert x - a \rvert < \delta\) 라 하면 … \(< \varepsilon\).”

C. 일차함수

대상 극한을 정한다. \(\lim_{x \to 2}(3x + 1) = 7\) 이다.
오차를 \(\lvert x - 2 \rvert\) 로 나타낸다.

\[\lvert (3x+1) - 7 \rvert = \lvert 3x - 6 \rvert = 3\lvert x - 2 \rvert\]

이 값이 \(\varepsilon\) 보다 작으려면 \(\lvert x - 2 \rvert < \varepsilon/3\) 이면 된다.
\(\delta = \varepsilon/3\) 로 둔다. \(0 < \lvert x - 2 \rvert < \delta\) 이면 \(3\lvert x - 2 \rvert < 3 \cdot \varepsilon/3 = \varepsilon\) 이다.
일반화한다. \(mx + b\) (\(m \neq 0\)) 이면 \(\delta = \varepsilon/\lvert m \rvert\) 이다.

참고 기울기가 가파를수록 \(x\) 를 더 좁게 묶어야 한다는 기하적 해석과 일치한다.

D. 이차함수와 min(1, ε/7)

대상 극한을 정한다. \(\lim_{x \to 3} x^2 = 9\) 이다.
오차를 인수분해한다.

\[\lvert x^2 - 9 \rvert = \lvert x - 3 \rvert \cdot \lvert x + 3 \rvert\]

두 인수의 성격을 구분한다. \(\lvert x - 3 \rvert\) 는 \(\delta\) 로 조절되지만 \(\lvert x + 3 \rvert\) 는 \(x\) 에 따라 변한다.

경고 \(\delta = \varepsilon/\lvert x + 3 \rvert\) 는 답이 아니다. \(\delta\) 에 \(x\) 가 들어가면 3.A 의 양화사 순서를 위반한다. \(\lvert x + 3 \rvert\) 를 \(x\) 와 무관한 상수로 위에서 눌러야 한다.

\(x\) 를 3 근처로 먼저 제한한다. \(\lvert x - 3 \rvert < 1\) 이면 \(2 < x < 4\) 이다.
이 범위에서 \(5 < x + 3 < 7\) 이므로 \(\lvert x + 3 \rvert < 7\) 이다.
제한된 범위에서 다음 부등식을 얻는다.

\[\lvert x^2 - 9 \rvert < 7\lvert x - 3 \rvert\]

\(\lvert x - 3 \rvert < \varepsilon/7\) 이면 충분함을 확인한다.
두 조건 \(\lvert x - 3 \rvert < 1\) 과 \(\lvert x - 3 \rvert < \varepsilon/7\) 을 동시에 만족하도록 작은 쪽을 고른다.

\[\delta = \min\left(1, \frac{\varepsilon}{7}\right)\]

증명을 완성한다.
1. \(0 < \lvert x - 3 \rvert < \delta\) 라 한다.
2. \(\delta \le 1\) 에서 \(\lvert x + 3 \rvert < 7\) 이다.
3. \(\delta \le \varepsilon/7\) 에서 \(\lvert x - 3 \rvert < \varepsilon/7\) 이다.
4. 둘을 곱하면 \(\lvert x^2 - 9 \rvert < \varepsilon\) 이다.

epsilon-delta game for x^2 at 3: epsilon shrinks from 6 to 0.6 and delta = min(1, epsilon/7) keeps the graph inside the band — lim x→3 x² = 9 에서 ε 을 6, 3, 1.5, 0.6 으로 줄일 때마다 δ = min(1, ε/7) 로 답한다. δ 구간(세로 띠) 안의 그래프가 ε 띠(가로 띠) 안에 머문다.

참고 min 이 필요한 이유는 4.A 의 반례로 확인한다. 제한 반지름 1에는 특별한 의미가 없다. \(\lvert x - 3 \rvert < 1/2\) 로 묶으면 \(x + 3 < 6.5\) 이고 \(\delta = \min(1/2,\ 2\varepsilon/13)\) 이 된다. 이것도 맞는 답이다. 1은 계산이 편해서 고르는 값이며 정답이 하나로 정해져 있지 않다. 3.E 처럼 1을 고르면 안 되는 경우도 있다.

E. 유리함수: 분모를 아래에서 제한

대상 극한을 정한다. \(\lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-1} = 3\) 이다.
오차를 정리한다.

\[\left\lvert \frac{x+1}{x-1} - 3 \right\rvert = \left\lvert \frac{x + 1 - 3x + 3}{x-1} \right\rvert = \frac{2\lvert x - 2 \rvert}{\lvert x - 1 \rvert}\]

분모 \(\lvert x - 1 \rvert\) 를 아래에서 누른다. 분모가 작아지면 전체가 커지기 때문이다.

경고 관성적으로 \(\lvert x - 2 \rvert < 1\) 로 묶으면 \(1 < x < 3\) 이다. 이 구간은 \(x = 1\) 에 한없이 가까운 점을 포함하므로 \(\lvert x - 1 \rvert\) 의 아래 경계가 생기지 않는다. 특이점 \(x = 1\) 까지의 거리가 1이므로 그보다 좁게 묶어야 한다.

\(\lvert x - 2 \rvert < 1/2\) 로 제한한다. 이때 \(3/2 < x < 5/2\) 이고 \(\lvert x - 1 \rvert > 1/2\) 이다.
제한된 범위에서 다음 부등식을 얻는다.

\[\frac{2\lvert x - 2 \rvert}{\lvert x - 1 \rvert} < 4\lvert x - 2 \rvert\]

\(\delta = \min(1/2,\ \varepsilon/4)\) 로 둔다.

참고 제한 반지름의 기준은 “그 안에 함수가 정의되지 않는 점이 들어오지 않을 만큼”이다. 다항식은 그런 점이 없으므로 임의의 반지름을 쓸 수 있다. 유리함수는 분모의 영점까지 거리보다 작아야 한다.

F. 극한이 존재하지 않음의 증명

정의를 부정한다. \(\forall\) 와 \(\exists\) 가 서로 바뀌고, “이면”은 “이면서”가 된다.

\[\lim_{x \to a} f(x) \neq L \iff \exists \varepsilon > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x :\ 0 < \lvert x - a \rvert < \delta \ \text{and}\ \lvert f(x) - L \rvert \ge \varepsilon\]

게임의 역할을 바꾸어 해석한다.
1. 이번에는 증명하는 쪽이 의심하는 쪽이다. 먼저 \(\varepsilon\) 하나를 고른다.
2. 상대가 어떤 \(\delta\) 를 내놓든, 그 구간 안에서 \(\varepsilon\) 밖으로 벗어나는 \(x\) 를 하나 찾는다.
3. 극한이 존재하지 않는다는 명제는 모든 실수 \(L\) 에 대해 이것이 가능하다는 뜻이다.
\(f(x) = \lvert x \rvert / x\), \(a = 0\) 에 적용한다. \(x > 0\) 이면 1, \(x < 0\) 이면 \(-1\) 이다.
1. 임의의 \(L\) 에 대해 \(\varepsilon = 1\) 을 고른다.
2. 임의의 \(\delta\) 에 대해 \(x = \delta/2\) 와 \(x = -\delta/2\) 는 둘 다 \(0 < \lvert x \rvert < \delta\) 를 만족한다.
3. 두 점의 함숫값은 1과 \(-1\) 이다.
삼각부등식을 적용한다.

\[\lvert 1 - L \rvert + \lvert -1 - L \rvert \ge \lvert (1 - L) - (-1 - L) \rvert = 2\]

두 점 중 적어도 하나는 \(L\) 에서 1 이상 떨어져 있다. 그 점을 \(x\) 로 고른다.
이 논증은 \(L\) 에 무관하게 성립하므로 극한은 존재하지 않는다.
\(\sin(1/x)\), \(a = 0\) 에 같은 절차를 적용한다.
1. \(x_n = 1/(2\pi n + \pi/2)\) 에서 값은 1이다.
2. \(y_n = 1/(2\pi n + 3\pi/2)\) 에서 값은 \(-1\) 이다.
3. \(n\) 을 키우면 두 점 모두 상대의 \(\delta\) 안으로 들어온다.
4. 나머지는 3단계에서 6단계까지와 같이 \(\varepsilon = 1\) 로 끝난다.

4. 시험 및 검사

A. min 생략 시 반례

\(\delta = \varepsilon/7\) 만 쓰고 상대가 \(\varepsilon = 10\) 을 낸다고 가정한다.
\(\delta = 10/7 \approx 1.43\) 이다.
\(x = 4.4\) 는 \(\lvert x - 3 \rvert = 1.4 < \delta\) 이므로 구간 안에 있다.
\(4.4^2 - 9 = 10.36 > 10\) 이므로 조건이 깨진다.
판정: \(\varepsilon\) 이 크면 \(\varepsilon/7\) 이 1을 넘어 “\(\lvert x + 3 \rvert < 7\)” 전제가 깨진다. min 의 1이 이 전제를 유지한다.

Counterexample with epsilon = 10: delta = epsilon/7 admits x = 4.4 where x^2 leaves the band; delta = min(1, epsilon/7) does not — ε = 10 에서 δ = ε/7 만 쓰면 x = 4.4 가 구간에 들어와 x² = 19.36 이 ε 띠 위로 벗어난다. δ = min(1, ε/7) = 1 이면 그래프가 띠 안에 남는다.

B. 유리함수 δ 수치 확인

\(\varepsilon = 0.1\) 이면 \(\delta = \min(1/2,\ 0.1/4) = 0.025\) 이다.
구간 양 끝 \(x = 2.025\) 와 \(x = 1.975\) 에서 오차를 계산한다. 각각 0.0488 과 0.0513 이다.
판정: 두 값 모두 0.1 안에 있으므로 합격이다.

C. 자주 발생하는 논리적 오류

\(\delta\) 에 \(x\) 를 넣는 오류를 점검한다.
1. 예: \(\delta = \varepsilon/\lvert x + 3 \rvert\).
2. 양화사 순서상 \(\delta\) 를 정할 때는 아직 \(x\) 가 정해지지 않았다.
min 을 생략하는 오류를 점검한다.
1. 작은 \(\varepsilon\) 만 고려하면 \(\varepsilon/7\) 로 충분해 보인다.
2. 4.A 의 \(\varepsilon = 10\), \(x = 4.4\) 처럼 큰 \(\varepsilon\) 에서 깨진다.
3. ”\(\varepsilon\) 이 크면 어떻게 되는가”를 확인하는 것이 가장 빠른 점검이다.
예비 계산 순서로 답안을 쓰는 오류를 점검한다.
1. \(\lvert f(x) - L \rvert < \varepsilon\) 에서 출발해 \(\lvert x - a \rvert < \delta\) 를 끌어내면 방향이 반대다.
2. 각 단계가 역방향으로도 성립하는지 확인하지 않으면 증명이 되지 않는다.
부정 명제에서 “이면”을 그대로 두는 오류를 점검한다.
1. ”\(0 < \lvert x - a \rvert < \delta\) 이면 \(\lvert f(x) - L \rvert \ge \varepsilon\)” 은 구간 안의 모든 \(x\) 가 벗어난다는 훨씬 강한 주장이다.
2. 필요한 것은 벗어나는 \(x\) 가 하나 존재한다는 것이다.
\(x = a\) 에서의 값을 극한에 섞는 오류를 점검한다.
1. 정의의 \(0 < \lvert x - a \rvert\) 는 \(f(a)\) 를 고려하지 않는다는 뜻이다.
2. 명제 “\(\lim fg = 0\) 이면 \(\lim f = 0\) 또는 \(\lim g = 0\)” 의 반례로 \(g(0) = 1\), \(x \neq 0\) 에서 \(g(x) = 0\) 인 함수를 드는 경우가 있다.
3. 이 \(g\) 는 \(x \to 0\) 에서 극한이 0이므로 반례가 되지 못한다.
4. 올바른 반례는 \(x > 0\) 에서 1이고 나머지에서 0인 \(f\) 와, \(x < 0\) 에서 1이고 나머지에서 0인 \(g\) 다.
5. 곱은 어디서나 0이지만 \(f\) 와 \(g\) 모두 0에서 극한이 존재하지 않는다.

참고 정의의 \(0 < \lvert x - a \rvert\) 조건은 연습문제 해답에서도 간과되기 쉽다.

5. 종료

A. 결과 정리

극한의 정의는 \(\forall \varepsilon,\ \exists \delta\) 의 양화사 순서로 해석한다. \(\delta\) 는 \(\varepsilon\) 에 의존하고 \(x\) 에 의존하지 않는다(3.A).
\(\delta\) 는 예비 계산으로 찾고, 답안은 역순으로 쓴다(3.B).
오차 식에 \(x\) 에 따라 변하는 인수가 있으면 구간을 먼저 제한하고 min 으로 결합한다(3.D, 3.E).
제한 반지름은 함수가 정의되지 않는 점까지의 거리보다 작아야 한다(3.E).
극한의 비존재는 부정 명제 \(\exists \varepsilon,\ \forall \delta,\ \exists x\) 로 증명한다(3.F).